Page 284 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 284
2011 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 283
p √
¸ Simdi de, 3 6 3 − 10 de˘ gerini bulaca˘ gız.
p √ √
3
6 3 − 10 = 3 −
sa˘ glanacak ∈ N sayıları arayalım. Her iki tarafın küpü alınırsa
√ ¡ ¢ ¡ ¢ √
3
2
3
6 3 − 10 = − +9 + 3 +3 2 3
¡ ¢
2
3
2
3
2
olaca˘ gından, +9 =10 ve + =2 olacaktır. + 2 =2 e¸sitli˘ ginden
= =1 oldu˘ gu görülür. Di˘ ger denklem de sa˘ glanır. O halde,
p √ √
3
6 3 − 10 = 3 − 1
√ √
bulunur. 1 7 3 1 8 oldu˘ gundan, 3−1 sayısının virgülden sonraki ilk rakamı
7’dir.
10. Do˘ gal sayıların ikilik tabanda yazılı¸sında sadece 1 ve 0 rakamları bulunur.
Örne˘ gin, 5= (101) ’dir. 512, 513, 514,..., 2047 sayıları ikilik tabanda yazıl
2
dı˘ gında, kaç tanesinin 0’larının sayısı 1’lerinin sayısından fazla olacaktır?
9
Çözüm : Sayılar 2 = 512 ve 2 11 = 2048 arasında oldu˘ gundan, ikilik tabanda tüm
10 ve 11 basamaklı sayıları incelyece˘ giz. Bu iki durumu ayrı ayrı inceleyelim. Sayı,
10 basamaklı ise, ilk basamak 1 olması gerekti˘ ginden, geri kalan 9 rakam 0 ve 1
de˘ gerleri olabilir. Sıfırların sayısı 6,7,8 veya 9 iken 1’lerin sayısından fazla olacaktır.
Bu ¸sekildeki sayıların sayısı da,
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
9 9 9 9
6 + 7 + 8 + 9 = 130
olur. E˘ ger sayı 11 basamaklı olursa, ilk rakam 1 oldu˘ gundan geriye 10 yer kalır.
0’ların sayısı 6,7,8,9,10 olabilir. Buradan da istenen ¸sekilde,
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 386
6 7 8 9 10
sayı bulunur. Böylece, istenen ¸sekilde toplam 130 + 386 = 516 sayı oldu˘ gu görülür.
11. 3 1080 −1 sayısı iki basamaklı aa türündeki sayılardan kaçıyla tam bölünür?
Çözüm : Fermat teoremine göre,
3 1080 ≡ 1 (mod 11)
oldu˘ gundan, 3 1080 − 1 sayısının =11 · sayısına bölünmesi için sayısına
bölünmesi yeterlidir. sayısının 3 6 9 olamayaca˘ gı açıktır.
3 1080 ≡ 1(mod )
denkli˘ gi ’nın 1 2 4 5 7 8 de˘ gerleri için sa˘ glandı˘ gı Euler teoreminden kolayca görüle
2
3
bilir. Örne˘ gin, (8) = 2 − 2 =4’tür ve
4
3 (8) =3 ≡ 1(mod8)
oldu˘ gundan 3 1080 ≡ 1(mod8) olur.
