Page 285 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

284 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

12. x, y, z pozitif reel sayılar olmak üzere, xyz (x + y + z − 4) ifadesinin
alabilece˘ gi en küçük de˘ ger nedir?
Çözüm : Verilen iadeye  (  ) denilirse,
2
2
2
 (  )=   +   +  − 4
¡ 2 2 2 ¢
= −1+ 1+   +   +  − 4 (A.O. ≥ G.O.)
p
≥−1+4 4 1   − 4
4 4 4
= −1
olur. Yani, her     0 için,  (  ) ≥−1’dir.  =  =  =1 alınırsa,
 (  )= −1 olur. Yanıt : −1
13. Kenarları asal sayı ve alanı tamsayı olan kaç üçgen vardır?
Çözüm : Üçgenin kenar uzunlukları    olsun. Heron formülüne göre,
2
16 =( +  + )( +  − )( −  + )(− +  + )
yazılabilir. Sa˘ g taraftaki her bir çarpan çift olmalıdır. Bu ise iki durumda mümkündür:
i)    çift iken;
ii)   ’den biri çift iken.
Birinci durumda  =  =  =2 olmalıdır. Oysa,
2
16 =6 · 2 · 2 · 2
e¸sitli˘ gi sa˘ glanmaz.
˙ Ikinci durumda ise, biri çift, yani 2 olaca˘ gından di˘ ger ikisinin farkı, üçgen e¸sitsizli˘ gine
göre, 2’den küçük olmalıdır. Bu ise sayılar asal oldu˘ gundan dolayı, di˘ ger ikisinin e¸sit
olmasını gerektirir.  =2 =  kabul edelim. Bu durumda da
¡ ¢
2
2
16 =(2 + 2)(2) (2)(−2+2)=16  − 1
e¸sitli˘ ginden,  =  − 1 olur ki, bu da mümkün de˘ gildir. Yanıt : 0.
2
2
¡ 2 ¢ 2 ¡ 2 ¢
14. 4 x +3x +1 −5 x +3x +1 −x =2 denkleminin irrasyonel kök­
lerinin toplamı kaçtır?
Çözüm : Her iki tarafa  +3 +1 eklenirse,
2
¡ 2 ¢ 2 ¡ 2 ¢ 2
4  +3 +1 − 4  +3 +1 +1 =  +4 +4,
elde edilir. Buradan,
¡ 2 ¢ 2 2
2 +6 +1 − ( +2) =0
¡ 2 ¢
(2 +1) ( +3) 2 +5 − 1 =0
olur. Buna göre, Vieta formülünden, irrasyonel köklerin toplamı, −52 olarak bu­
lunur.