Page 287 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

286 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

2
 = yazarsak, sırasıyla,

2 2
◦
( +1) =(2) +1 − 2 · 1 · (2) · cos (120 ) 
4 2
2
 +2 +1 = + +1
 2 
3
4
2
 +2 +  2 =4 + 2 +  
3
4
 +2 − 2 − 4= 0
¡ 3 ¢
( +2)  − 2 =0
√
elde edilir. Son denklemden de,  = 3 2 bulunur.
17. P , ABC üçgeninin içinde bir noktadır. A
◦
m(ABC)=90 , |AB| =2 ve |BC| =3
b
oldu˘ guna göre,
√
2 |AP | + |BP | + |CP | P
toplamının minimum de˘ geri kaçtır?
B C
0
Çözüm :  üçgenini  etrafında saat yönünde, 90 derece döndürerek,   0
üçgenini elde edelim.
5
A D
B'

P
P' 2

B C
3

¸ Sekilden,   üçgeni ikizkenar dik üçgen oldu˘ gundan,
0
√
0
2 || = | |
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. Buna göre,
√
0 0 0 0
2 || + || + || = | | + |  | + || ≥ | |
olaca˘ gından,
q
√ 2 2 √ √
2
2
0
2 || + || + || ≥ | | = | | + || = 5 +2 = 29
0
√
bulunur. Yani, istenen toplamın alabilece˘ gi en küçük de˘ ger 29’dur.