Page 286 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2011 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 285

¡
¡
2
2
2
15. ¡ x +2x −x ¢ 10 + x +2x −x ¢ 9 + ··· + x +2x −x ¢ 1 =2011
3
3
3
denkleminin tüm (reel ve kompleks) köklerinin kareleri toplamı kaçtır?
Çözüm : Verilen denklem, 30’uncu dereceden bir denklem oldu˘ gundan 30 kökü
vardır.
2
2
2
 +  + ··· +  2 30 =( 1 + ·· · +  30 ) − 2( 1  2 + ··· +  29  30 )
1
2
e¸sitli˘ gini kullanaca˘ gız. Buna göre, Vieta teoremi göz önüne alınırsa,
 29 ve  28
¡ ¢ 10
2
3
terimlerinin katsayısını bulmamız gerekir. Her iki terim de sadece  +2 − 
ifadesinin açılımından elde edilir. Buna göre, multinom teoremi kullanılarak,  ’un
29
katsayısı
1
2 · 10!
¡ ¢
1 10
2 · = =20
910 9!1!0!
olur. Benzer ¸sekilde,  ’in katsayısı da,
28
2
1
1 ¡ 10 ¢ 2 ¡ 10 ¢ (−1) · 10! (2) 10!
(−1) +2 = + = 170
901 820 9!0!1! 8!2!0!
bulunur. Böylece,
2
2
2
 +  + ··· +  2 30 =(−20) − 2 · 170 = 60
2
1
elde edilir.
A
16. Yandaki üçgende |BD| = |AC| =1,
◦
m(BAD)=30 ve m(DAC)= 90 ◦ 30
b
b
oldu˘ guna göre, |DC| uzunlu˘ gunu hesaplayınız. 1
B 1 D x C
Çözüm : Sinüs ve kosinüs teorem­ A
lerini kullanaca˘ gız. ¸Sekilden,
 1 30
= y 1
sin 90 ◦ sin 
ve
1  β
= 1 x C
sin 30 ◦ sin  B D
yazabiliriz. Bu e¸sitliklerden, sin  =1 ve  =2 olur.  üçgeninde Kosinüs
teoremi uygulanırsa,
2 2
( +1) =  +1 − 2 · 1 ·  · cos (120 )
◦
olur.