Page 288 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2011 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 287

18. x, y ∈ Z olmak üzere,
q q
2
2
F (x, y) = x +y +2x − 10y +26 + x +y −6x +6y +18
2
2
fonksiyonu en küçük de˘ gerini kaç noktada alır?
Çözüm : Köklerin içini tamkarelerin toplamı olarak yazalım.
q q
2 2 2 2
 ( )= ( +1) +( − 5) + ( − 3) +( +3)
olacaktır. Bizden istenen,  =(−1 5) ve  =(3 −3) noktasına uzaklıkları toplamı
en küçük olan ( ) noktalarının (tamsayı ikililerinin) sayısıdır. Bu noktalar ise, 
ve  noktalarını birle¸stiren do˘ gru parçası üzerindeki noktalarıdır.  ve ’den geçen
do˘ gru denklemi

 − 5= −2( +1)
biçimindedir. −1 ≤  ≤ 3 için,  tamsayı iken ’nin tamsayı olaca˘ gı açıktır.
Dolayısıyla,  = −1 0 1 2 3 için ( ) noktaları tamsayı koordinatlı noktalardır.
Yanıt : 5.

19. Bu sorunun cevabını bulmak için, seçenekleri küçükten büyü˘ ge do˘ gru sırala­
yınız. Yeri de˘ gi¸smeyen seçenek do˘ gru seçenektir.
3 √ √
A) B) 2 C) 3 3 D) log 5 E) log 3
2
3
2
√ √ √ √ √ √
Çözüm : 2= 6 2 ve 3 3= 6 3 oldu˘ gundan, 2  3 3 olur. Di˘ ger taraftan,
3
2
µ ¶ 3
¡√ ¢ 3 27 3
3
3 =3  =
8 2
√ 3 √ √ 3
e¸sitsizli˘ ginden, 3 3  ve dolayısıyla, 2  3 3  e¸sitsizli˘ gi sa˘ glanır. ¸Simdi de,
2 2
2
2  3 oldu˘ gundan,
3
3
3log 2  2log 3 ⇒  log 3
2 2 2
2
2
bulunur. Aynı dü¸sünceyle, 3  5 oldu˘ gundan,
3
3
3log 3  2log 5 ⇒  log 5
3 3 3
2
olur. Böylece, seçeneklerdeki en büyük sayının log 3 oldu˘ gu görülür. Bu seçenek E
2
seçene˘ ginde oldu˘ gundan, yeri de˘ gi¸smeyecektir. Yanıt : E.
√
Not : 3 3  log 5 oldu˘ gu da gösterilerek
3
√ √ 3
2  3 3  log 5   log 3
2
3
2
√
sıralaması yapılabilir. Fakat, 3 3  log 5 oldu˘ gunu göstermek biraz zordur.
3