Page 289 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

288 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

20. Her n pozitif tamsayısı için, n 33 −n ifadesi 33p’ye bölünecek ¸sekilde kaç p
asal sayısı vardır?
+
Çözüm : Her  ∈ Z için  33 ≡  (mod 33) denkli˘ gini sa˘ glayan  asal de˘ gerini
arayalım. Denklik, her  için sa˘ glandı˘ gından,  sayısının, 33 ile aralarında asal
oldu˘ gu durumlar için de sa˘ glanmalıdır. Bu durumda,  ile sadele¸stirme yapılarak,
 33−1 ≡ 1(mod33)
elde edilir. 33 =3·11· oldu˘ gundan,  33−1 ≡ 1(mod33) denkli˘ ginin sa˘ glanması
için
1)  33−1 ≡ 1(mod3) 
2)  33−1 ≡ 1 (mod 11) 
3)  33−1 ≡ 1(mod )
olması gerekir.  sayısı 33 ile aralarında asal oldu˘ gundan, birinci durum her  6=2
asalları için geçerlidir. Üçüncü duruma göre de, −1 33−1’i bölmelidir. Buradan,
 − 1 sayısının,
(33 − 1) − 33 ( − 1) = 32
sayısını da bölmesi gerekti˘ gi sonucuna ula¸sılır. Buna göre,

 − 1 ∈ {2 4 8 16 32}
˙
olabilir ki,  asal oldu˘ gundan,  =3,  =5 veya  =17 olabilir. Ikinci duruma göre,
33 − 1 10’a bölünmesi gerekti˘ ginden,  =3 ve  =5 olamaz. 33 · 17 − 1= 56 · 10
oldu˘ gundan,  =17, istenen özelliklere sahip tek asaldır.

21. Alper ile Burcu, hiç beraberli˘ gin olmadı˘ gı bir tür oyun oynuyorlar. Birinci
˙
oyunda kaybeden di˘ gerine 1 ceviz veriyor. Ikinci oyunda kaybeden di˘ gerine
2 ceviz, üçüncü oyunda kaybeden di˘ gerine 4 ceviz veriyor ve oyunlar bu ¸sek­
ilde sürdürülerek, her oyunda kaybeden oyuncu, di˘ gerine bir önceki oyunda
verilenin iki katı ceviz veriyor. Alper, ba¸sta, 591 cevize sahipken, cevizlerinin
tamamını (ne eksik, ne fazla) en az sayıda oyun oynayarak kaybediyor ve oyun
bitiyor. Alper hangi oyunları kazanmı¸stır?
9
Çözüm : 2  591 oldu˘ gundan, en az 10 oyun oynanmı¸stır. Bu 10 oyun sonunda,
2
1
0
9
el de˘ gi¸stiren paranın toplamı, 2 +2 +2 + ··· +2 = 1023’tür. Kabul edelim ki,
Alper  TL, Burcu’da  TL kazanmı¸s olsun. Bu durumda,
 +  = 1023 ve  −  = 591
olacaktır. Buradan,  = 216 ve  = 807 elde edilir. Yani, Alper 216 TLkazanırken,
807 TL kaybetmi¸stir.
4
7
6
216 = 2 +2 +2 +2 3
oldu˘ gundan, Alper, 4,5,7 ve 8’inci oyunları kazanmı¸stır.