Page 290 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 290
2011 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 289
22. P (x) bir polinom ve Q (x) sabit olmayan bir fonksiyon olmak üzere,
P (x) = x(1 − x)Q(x) e¸sitli˘ gi sa˘ glansın. Her x 6=0 ve x 6=1 reel sayısı için
1
Q(x)= Q( )
1 − x
e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gı biliniyorsa, P (x) polinomunun derecesi kaçtır?
− 1 − 1
Çözüm : yerine konursa ( )= () elde edilir. Problemde verilen
e¸sitli˘ gi () cinsinden ifade edersek,
− 1 3 1
3
()= − ( )= − (1 − )
bulunur.
µ ¶
() 1
− 3 = 1 −
e¸sitli˘ ginde →∞ için limite geçilirse, sa˘ g tarafın limiti sonlu, yani (1) oldu˘ gun
dan, sol tarafın da limiti sonlu olmalıdır. Bu ise, ()’in derecesinin 4’den küçük
oldu˘ gu durumda mümkündür.
3
Yani, der () ≤ 3’tür. der ()=2 için, ()= − (1 − 1) e¸sitli˘ ginin
sa˘ glanamayaca˘ gı açıktır. Dolayısıyla, Yanıt : 3’tür.
2
3
− 3 +1
3
2
Örne˘ gin, ()= − 3 +1 polinomu ve ()= fonksiyonu
(1 − )
için, verilen e¸sitlikler sa˘ glanır. Bu ¸sekilde, sonsuz sayıda üçüncü dereceden ()
polinomları bulunabilir.
23. a 0 =2 a 1 =3 ve her k ≥ 1 için, a +1 = a +a −1 ¸seklinde tanımlanmı¸s
(a ) ∞ dizisi veriliyor.
=0
µ ¶ µ ¶ µ ¶
1 1 1 1 1 1 1 1 1
S= + + + +··· + + +·· ·
1 2
2 a 0 a 1 a 2 2 a 1 a 2 a 3 2 a −1 a a +1
sonsuz toplamının de˘ geri nedir?
Çözüm : Her bir terimi a¸sa˘ gıdaki gibi parçalayaca˘ gız.
µ ¶
1 1 1 +1 + 2 +1 − −1
+ = =
2 −1 +1 2 −1 +1 2 −1 +1
1 1
= −
2 −1 −1 2 +1
1
Burada, = dersek,
2 −1 −1
µ ¶
1 1 1
+ = − +1
2 −1 +1
olacaktır.
