Page 291 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

290 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

O halde, toplam teleskopik olur ve  →∞ için   → 0 oldu˘ gundan,

 =( 1 −  2 )+ ( 2 −  3 )+( 3 −  4 )+ ·· · =  1
1 1 1
elde edilir. Böylece,  =  1 = = = bulunur.
0
2  0  1  0  1 6
10 9900
24. a = 99 sayısının tam kısmının son rakamı kaçtır?
10 −7
100
( +7)
99
Çözüm :  =10 −7 diyelim. Bu durumda,  =  olur. Binom formülüne
göre,
100 100
1 P ¡ 100 ¢ 100−  99 P ¡ 100 ¢ 100−−1  7
 =   · 7 =   · 7 +
 =0 =0 
7 100 7 100
olur. =  1 oldu˘ gundan,
 10 99 − 7
99 P ¡ 100 ¢ 100−−1 
db||ce =  · 7

=0
olacaktır. Bu ifadeyi mod 10’da hesaplayalım.
99 P ¡ ¢ 99 P ¡ ¢
100 99−  100 +1 99
db||ce ≡ (−7) · 7 ≡ (−1) · 7
 
=0 =0
∙ ¸
99 99 P ¡ 100 ¢  99 100 ¡ 100 ¢ 
P
≡ (−7) (−1) ≡ 3 (−1) − 1 
 
=0 =0
100
X ¡ ¢  100
Bu ifadede, 100 (−1) =(1 − 1) =0 oldu˘ gundan,

=1
db||ce ≡ 3 99 (−1) ≡ (−3) 9 49 ≡ (−3) (−1) ≡ 3 (mod 10)
elde edilir.
25. Yandaki dik üçgende,
√ A
|AC| =1, |AB| = 3 ve
|CB| =2’dir. DE, CB’ye
paralel ve DEF üçgeninin alanı D E
√
3/8 oldu˘ guna göre, DEF üç­
geninin çevresinin uzunlu˘ gu en
az kaç olabilir?
C B
F
Çözüm :  kö¸sesinden ’ye dik çizelim. Bu yüksekli˘ gin ’yi kesti˘ gi noktaya
√ √
 diyelim. || =  ise, 1 · 3=2 ·  e¸sitli˘ ginden,  = 32 olur. || =  ve
|| =  olsun.