Page 292 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2011 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 291

 ∼  benzerli˘ ginden,
√
|| ||   3
= ⇒ = √ ⇒  = 
|| || 2 32 4
√ √
3 3
elde edilir. Böylece, || = −  olur.  ()=  denilirse,
2 4
à !
√ √
1 3 3
 =  − 
A 2 2 4
y 1 √ 1 √ √ 3
D N E =  3 −  2 3=
x 4 8 8
e¸sitli˘ ginden,  − 2 +1 = 0 olur ki,
2
buradan  =1 bulunur. ¸Simdi üçgenin
C B çevresinin minimum de˘ gerini bulalım.
H F
Bunun için,  noktasının ’ye göre
simetri˘ gini alalım.  üçgeninin çevresinin minimum olabilmesi için,
|| + ||
en küçük olmalıdır ki, bu   ve  noktalarının do˘ grusal olması durumunda
0
mümkündür.    do˘ grusal ise,
0
q
2 2
0
0
|| + | | = | | = || +(2 ||)
olacaktır.
Böylece,
√ A
|| =1 ve || = 34 y
D N E
oldu˘ gundan, x
v
u à √ ! 2 √
u 3 7
| | = t 1+4 · = C B
0
4 2 H F
bulunur. Sonuç olarak,  üçgeninin
çevre uzunlu˘ gunun minimum de˘ geri E ı
√
1+ 72 elde edilir.