Page 293 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2012 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

1. 25 ö˘ grencinin yarısından fazlası kırtasiyeden her biri e¸sit sayıda ve 2’den
fazla olmak üzere aynı kalemden aldılar. Bir kalemin kuru¸s cinsinden de˘ geri,
bir ö˘ grencinin aldı˘ gı kalem sayısından fazladır. Tüm kalemlerin de˘ geri 10 TL 45
Kr ise bir kalemin kuru¸s cinsinden de˘ gerinin rakamları toplamı kaçtır?
Çözüm : Kalem alan ö˘ grenci sayısı  bir ö˘ grencinin aldı˘ gı kalem sayısı  ve bir
kalemin de˘ geri  kuru¸s olsun. Verilenlerden,
 ·  ·  = 1045 = 5 · 11 · 19;   ve 25 ≥  ≥ 13
olaca˘ gından,  =19 =11 ve  =5 bulunur. ’nin rakamları toplamı 2’dir.

2. 9999’a tam bölünen, fakat 10’a bölünmeyen, rakamları birbirinden farklı
sekiz basamaklı kaç sayı vardır?
Çözüm : 8 basamaklı sayıyı  ile gösterelim. Önce,
 ≡ 0 (mod 9999)
ko¸sulunu sa˘ glayan sayıların sayısını bulalım.
 = 9999 ·  +  +  ≡  +  (mod 9999)
ve istenen ¸sekildeki sayılar için,    9999 oldu˘ gundan,
 +  = 9999
e¸sitli˘ gi sa˘ glanmalıdır. Bunun için de,
 +  =9 +  =9 +  =9 ve  +  =9
olmalıdır.     belirli ise,     tek türlü seçilebilir. Buna göre,  0hariç 9
rakam;  8 rakam;  6 rakam ve  de 4 rakam olabilece˘ ginden, toplam 9 · 8 · 6 ·
4 = 1728 sayı 9999’a bölünecektir. ¸Simdi, 10’a bölünenlerin sayısını çıkaralım. Bu
durumda  =0 ve  =9 olacaktır.  için geriye 8 rakam kaldı,  için 6 ve  için de
4 rakam alınabilir. Böylece,  sayılarından 10’a bölünenlerin sayısı 8·6·4=
192’dir. Sonuç olarak, 9999’a tam bölünen, fakat 10’a bölünmeyen sayıların sayısı
1728 − 192 = 1536 olarak bulunur.

3. [−25, 15] aralı˘ gından rastgele alınmı¸s iki reel sayının çarpımının negatif olma
olasılı˘ gı kaçtır?
Çözüm : ¸Sekildeki karenin alanı 40 · 40 = 1600 taralı 15
bölgenin alanı 2 · 15 · 25 = 750’dir. O halde istenen
750 15 ­25
olasılık = olur. 15
1600 32

­25