Page 294 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2012 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 293

4. x +3x + c =0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 olmak üzere, c, x ,x sayıları
2
2
1
verilen sırada bir aritmetik dizi olu¸sturuyorsa, c (c +12) çarpımı kaçtır?
Çözüm : Vieta teoreminden  1 +  2 = −3 ve  1  2 = ’dir. Di˘ ger yandan,   1  2
sayıları verilen sırada bir aritmetik dizi olu¸sturuyorsa,  artı¸s miktarı olmak üzere,
 1 =  +  ve  2 =  +2 olacaktır. Buna göre,
2 +3 = −3 ve ( + )( +2)= 
2
˙
denklemleri elde edilir. Ikinci denklemde,  = −1 −  yazılırsa,
3
µ ¶µ ¶
2 4
 − 1 −   − 2 −  = 
3 3
e¸sitli˘ ginden,  +12 =18 bulunur. Bu da istenendir.
2
5. Dört bile¸senli (0 0 0 0) dörtlüsünden, her defasında sadece bir bile¸senin 1 br
artması ko¸suluyla (2, 1, 1, 2) dörtlüsünü kaç farklı ¸sekilde elde edebiliriz?
Çözüm : Birinci bile¸sendeki artı¸sı  ikinci bile¸sendeki artı¸sı  üçüncü bile¸sendeki
artı¸sı  ve dördüncü bile¸sendeki artı¸sı  ile gösterelim. Buna göre, soru 2 tane  1
tane ,1tane  ve 2 tane  kaç farklı ¸sekilde sıralanabilir sorusuna dönü¸sür.
6!
Yanıt : = 180.
2!2!
6. ABCD paralelkenarının [AB], [BC] kenarları üzerinde sırasıyla E, F
noktaları alınıyor. Alan(ADE)= Alan(DCF )=10 ve Alan(EBF )=9
ise, Alan(DEF ) kaçtır?

(a+b)x
D C Çözüm : || =  || =  denilirse
|| =  +  olur.
a
()= () ise
a+b F
1 1
( + ) || sin  =  || sin 
b 2 2
A ax E bx B e¸sitli˘ ginden, ( + ) || =  || olur
ki,
|| =  ve || =( + )  diyebiliriz. || = || − || e¸sitli˘ ginden de
|| =  elde edilir. Di˘ ger taraftan,
1
() 2 ( + )  sin  ( + )  10
= = =
() 1  2 9
 ·  sin 
2
3
2
e¸sitli˘ ginden de, 9( + ) −10 =(3 − 2)(3 +5)= 0 olur. Yani,  = ’dir.
2
µ ¶
1 3
2
Buradan, ()=  +   sin  =10 e¸sitli˘ ginden,   sin  =8
2 2
bulunur.