Page 295 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

294 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

Böylece,
25
2
()= ( + )( + )  sin  =   sin  =50
4
elde edilir. O halde ()= 50 − (10 + 10 + 9) = 21 olur.

7. x, y, z pozitif reel sayıları için, √ xyz + 1 + 1 + 1 toplamının alabilece˘ gi
3
x 2y 4z
minimum de˘ ger kaçtır?
Çözüm : Aritmetik ­ Geometrik ortalamalar e¸sitsizli˘ ginden
s
r
√ 1 1 1 √ 1 3 √ 1 √
3  + + + ≥ 3  +3 3 ≥ 2 3  √ = 6
 2 4 8 2 3 
p p p
elde edilir. ( = 38,  =4 38 ve  =2 38 için e¸sitlik sa˘ glanır).
µ ¶µ ¶µ ¶ µ ¶
2 2 2 2
8. 4− 4− 4− ·· · 4− çarpımı 3’ün en fazla kaçıncı kuvve­
1 2 3 50
tine bölünür?
µ ¶µ ¶µ ¶ µ ¶ µ ¶
2 2 2 2 50 Q 2
Çözüm : 4 − 4 − 4 − ··· 4 − = 4 − ¸ seklinde yaza­
1 2 3 50 =1 
lım.
µ ¶ µ ¶ µ ¶
50 Q 2 50 Q 2(2 − 1) 50 Q 2 (2 − 1) 100! ¡ 100 ¢
4 − = = = = 50
=1  =1  =1  ·  50!50!
100!
olur. Buradan, içindeki 3’ün kuvveti aranırsa,
50!50!
(1 +3+11+33) − 2 (1+5+16) = 4
bulunur.

◦
9. m(B)=m(C)=120 olan ABCD te˘ getler dörtgeninde |AB| =6, |BC| =4
ise |AD| kaçtır?
Çözüm :  ile ’nin kesisimi  ol­
sun. Bu durumda  üçgeni eskenar
olup || = || =4tür. || = x olsun.
 kirisler dörtgeninde

|| + || = || + ||
oldu˘ gundan || =  − 2 dir. 
üçgeninde || =10 , || =  +2
oldu˘ gundan kosinüs teoreminden
2
2
2
 =10 +(+2) −210(+2) cos 60 ◦
olup,  =14 bulunur.