Page 296 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2012 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 295

2

10. 2122’den küçük pozitif x tamsayılarının kaç tanesi için 2 −x sayısı 7’ye
bölünmez?
Çözüm :  ≡ 0 1 2 3 4 5 6(mod 7) için, 2 ≡ 1 2 4 1 2 4 1(mod7) olur. Yani

periyodu 3 olan ve 1,2,4,1,2,4... ¸seklinde devam eden bir dizi olur. Di˘ ger taraftan
 ≡ 0 1 4 2 2 4 1(mod7) olaca˘ gından, periyodu 7’dir. Bu durumda da kalanlar
2
7 periyotlu 0 1 4 2 2 4 1  ¸seklinde olacaktır. Bu iki sayı dizisinin ortak periy­

odu, 21 olaca˘ gından, ilk 21 tanesinden kaçı için 2 −  sayısının 7’ye bölünece˘ gini
2
bulursak sonuca ula¸sabiliriz. Kalanların ilk 21 tanesini alt alta yazalım.

2 için 1 2 4  1 2  4  1  2 4 1 2  4 1 2 4 1  2 4 1 2 4
2
 için 0 1 4  2 2  4  1  0 1 4 2  2 4 1 0 1  4 2 2 4 1
2
Görüldü˘ gü gibi, her 21 ardı¸sık  sayıları içinde 6 tanesi için, 2 −  sayısı 7’ye

bölünecek, 21 − 6= 15 tanesi 7’ye bölünmeyecektir. 2121 = 21 · 101 oldu˘ gundan,
15 · 101 = 1515 tane  de˘ geri için 2 −  sayısı 7’ye bölünmez.

2
11. ABC üçgeninin [BC]  [AC] ve [AB] kenarları üzerinde, sırasıyla D, E ve
F noktaları alınıyor. |AC| =104 , |AB| =65, |BD| =35,m(A) =60 ve
◦
b
AD açıortay ise DEF üçgeninin çevresinin minimum de˘ geri nedir?

104 65
˙
Çözüm :  açıortay oldu˘ gundan, = e¸sitli˘ ginden || =56’dır. Iç
|| 35
açıortayın uzunlu˘ gunu hesaplayalım:
2 2
|| =65104 − 3556 = 40 · 3
√
esitli˘ ginden || =40 3 bulunur. ¸Simdi  noktasının ,  do˘ grularına göre
simetrisi sırasıyla ,  olsun.
√
|| = || = || =40 3 ve () = 120 ◦
√
oldu˘ gundan || = 3 || olup, || =120 elde edilir.