Page 297 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

296 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

Simetriden dolayı || = || , || = ||’dir. Üçgen esitsizli˘ ginden

|| ≤ || + || + ||
oldu˘ gundan,
|| ≤ || + || + || =Çevre()
yazılabilir. Dolayısıyla Çevre() ≥ 120 olur. E¸sitlik durumu ,    nokta­
ları do˘ grusal iken sa˘ glanır

12. xoy koordinat düzlemi verilsin. x ve y koordinatları tamsayılar olmak
üzere, (x, y) noktasında bulunan çekirge, her zıplayı¸sında 5 br zıplayarak yine
tamsayı koordinatlı bir noktaya dü¸süyor. Ba¸slangıçta (0, 0) noktasında bulunan
çekirge (1, 0) noktasına gelmek için en az kaç defa zıplamalıdır?
Çözüm : 2 zıplama ile (1 0)’a gelemez. Çünkü iki kö¸sesi (0 0) ve (1 0) noktaları
olan ve kenar uzunlu˘ gu 5 br olan ikizkenar üçgenin üçüncü kö¸sesi tamsayı koordinatlı
de˘ gildir. 3 zıplama yeterlidir : Önce (3 4) noktasına, oradan (6 0) noktasına ve
oradan da (1 0) noktasına zıplar.

13. Yazı tahtasında yanyana 11 pozitif sayı yazılmı¸stır. Bu sayılar içinde yanyana
2xz ˙
yazılmı¸s herhangi (x, y, z) üçlüsü alınırsa, y = e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. Ilk sayı
x + z
1 1
ve son sayı ise, 6’ncı sayı kaçtır?
13 31
Çözüm :
2 1 1 2 1 1 1 1
 = ⇒ + = ⇒ − = −
 +        
oldu˘ gundan, tahtada yazılmı¸s sayıların terslerinin aritmetik dizi olu¸sturdu˘ gu görülür.
Bu aritmetik diziyi  1  2    11 ve dizi farkını da  ile gösterirsek,   =  1 +
( − 1)  e¸sitli˘ gine göre,  1 =13 ve  11 =31 oldu˘ gu kullanılarak,  =95 bulunur.
Buradan,
 6 =  1 +5 =13 + 5 · (95) = 22
olur. Tahtadaki 6’ncı sayı 1/22’dir.
Not : Herhangi (  ) üçlüsü için  sayısı,  ve ’nin harmonik ortalaması oldu˘ gun­
dan,  6 terimi, sa˘ gındaki ve solundaki ’ıncı sıradaki terimlerin de harmonik or­
talaması olacaktır. O halde, 1 ve 11’inci terimlerin do˘ grudan harmonik ortalaması
alınarak da
1 1
2 · ·
2 1  11 13 31 1
 6 = = =
 1 +  11 1 1 22
+
13 31
bulunabilir.