Page 298 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2012 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 297

14. 8n/5 tamsayısının pozitif bölenlerinin sayısı, n tamsayısının pozitif bölen­

lerinin 8/5’ine e¸sittir. Buna göre, n =5 k, k ∈ Z + ¸ seklinde ise, b do˘ gal sayısı
en fazla kaç olabilir?
 
Çözüm :  =2 5  ( ≥ 0 ≥ 1) formundadır Buna göre,
µ ¶
8
 
5 8 ( +4)  () 8
= ⇒ =
 () 5 ( +1) ( +1)  () 5
⇒ 5(( +4) ) − 8( +1) ( +1) = 0
⇒ 12 − 8 − 3 − 8=0
⇒ (3 +8) (4 − )= 40
olur. Burada,  ≥ 1 ⇒ 3 +8 ≥ 11 oldu˘ gundan, 3 +8 = 20 ve 4 −  =2 olur.
2 4
Buradan,  =2 ve  =4 bulunur. Yani,  =2 5  olur.
15. [0, 50] aralı˘ gından alınmı¸s x, y, z tamsayılarından olu¸sturulan kaç farklı
2
2
2
2
(x, y, z) üçlüsü için (y + z) −(x + y) =(y − z) −(x − y) e¸sitli˘ gi sa˘ glanır?
Çözüm : Her iki taraf açılır ve düzenlenirse,  =  veya  ( − )= 0 e¸sitli˘ gi
elde edilir.
i)  =  ise 51 tane  ve 51 tane de  de˘ geri için e¸sitlik sa˘ glanır. Bunların sayısı
51 ’dir.
2
ii)  6=  ise  =0 olmalıdır. Bu durumda da, 51 tane  ve 50 tane  de˘ geri için
e¸sitlik sa˘ glanacaktır. Bunların sayısı 51 · 50’dir.
Sonuç olarak toplam 51 +50 · 51 = 51 · 101 tane istenen ¸sekilde üçlü vardır.
2
16. a 1 =6 ve her n ≥ 1 için a +1 −2= a  (2a  +5) olsun. Buna göre,
1 1 1
S = + + + ···
2a 1 +3 2a 2 +3 2a 3 +3
toplamı kaçtır?
Çözüm :  +1 − 2=   (2  +5) ⇔  +1 +1 = (  +1) (2  +3) e¸sitli˘ ginden

2 +1 +2 = (2  +2) (2  +3)
1 1 1
olur. Buradan da = − veya
2 +1 +2 2  +2 2  +3
µ ¶
1 1 1 1
= −
2  +3 2   +1  +1 +1
1
bulunur.  =1 2 için toplarsak lim =0 oldu˘ gundan
→∞   +1
1 1 1
 = · =
2  1 +1 14
bulunur.