Page 299 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

298 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

17. a> 0 olmak üzere, y = ax +bx + c parabolünün tepe noktasının bulun­
2
du˘ gu nokta (1/3 −7/6) olup, a + b + c toplamı bir tamsayıdır. a’nın alabile­
ce˘ gi en küçük de˘ ger, (m, n) =1 olmak üzere, m/n biçiminde ise, n − m farkı
kaçtır?
µ ¶ 2
1 7
2
Çözüm :  =   − − =  +  +  e¸sitli˘ ginde  =1 yazılırsa,  +  + 
3 6
tamsayı oldu˘ gundan,
µ ¶ 2
1 7 4 7 8 − 21 8 − 3
 1 − − =  · − = = − 1
3 6 9 6 18 18
8 − 3 −15
tamsayı olmalıdır. ≤−1 olursa,  ≤ olaca˘ gından  negatif olur.
18 8
8 − 3 3
Ohalde, ≥ 0 olmalıdır. Buradan,  ≥ elde edilir. O halde, ’nın alabilece˘ gi
18 8
3
en küçük de˘ ger ’dir. Dolayısıyla, yanıt
8
 −  =8 − 3=5
olur.

18. Aynı sınıftaki Alper, Berk, Cem ve Derya isimli ö˘ grenciler bir test sınavına
giriyorlar. Sınav sonunda, sınav sonuçlarına göre bu ö˘ grenciler arasında kaç
de˘ gi¸sik sıralama yapılabilir?
(Örne˘ gin, Alper ve Cem’in girdi˘ gi iki ki¸silik bir sınavda; Alper birinci, Cem
ikinci; Cem birinci, Alper ikinci; Alper ve Cem e¸sit olacak ¸sekildeüçsıralama
yapılabilir.)
Çözüm : En genel halde dü¸sünelim.  ()  ki¸sinin sıralama sayısını göstersin.
¡ ¢ ¡ ¢ ¡  ¢ ¡ ¢



 ()=  ( − 1) +  ( − 2) + ·· · +  (1) +
1 2 −1 

e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. Yani, ,ki¸siden 1’i birinci ise bu ¡ ¢ ¸ sekilde seçilir, di˘ gerleri kendi
1 ¡ ¢
aralarında  ( − 1) sayısı kadar sıralanır.  ki¸siden 2’si birinci ise bunlar  2 ¸ sek­
ilde seçilir, di˘ gerleri kendi aralarında  ( − 2) sayısı kadar sıralanır. Bu ¸sekilde, en
sonunda  ki¸sinin ’inin de birinci oldu˘ gu (yani e¸sit) oldu˘ gu duruma kadar devam
edilir.
Buna göre,  =4 oldu˘ gundan,
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
4
4
4
4
 (4) =  (3) +  (2) +  (1) +
1 2 3 4
olacaktır.  (1) = 1 (2) = 3 oldu˘ gundan,
3
3
3
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
 (3) =  (2) +  (1) + =3 · 3+ 3 · 1+1 = 13
1 2 3
olur. O halde,
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
4
4
4
4
 (4) = 13 + 3+ 1+ =75
1 2 3 4
olarak bulunur.