Page 300 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2012 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 299

¡ √ ¢ 6 √ √
19. 3− 8 = x +1− x e¸sitli˘ gini sa˘ glayan x do˘ gal sayısının 9’a bölümün­
den kalan kaçtır?
¡ √ ¢ 6 √ ¡ √ ¢ 6 √
Çözüm : 3 − 8 =  −  8 ve 3+ 8 =  +  8 oldu˘ gundan,
√ ¢ 6
¡ 2 2 2 2
√ ¢ 6 ¡
3 − 8 3+ 8 =  − 8 =1 ⇒  − 1=8
olur. Buna göre,
¡ √ ¢ 6 √ √ √
3 − 8 =  −  8=  +1 − 
e¸sitli˘ ginden  +1 =  oldu˘ gu görülür. Yani,  =  − 1’dir. O halde,
2
2
2
 =  − 1
sayısına mod 9’da bakmalıyız.
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
6
6
6
6
6
4
6
2
3
3
 = 3 + 3 · 8+ 3 · 64 + 8 ≡ 8 (mod 9) ≡ 8(mod9)
0 2 4 6 8
oldu˘ gundan,  ≡ 8 − 1=0 (mod 9) elde edilir.
2
20. Kenar uzunlukları, |AB| =43, |BC| =46, |AC| =49 olan ABC üç­
geninde, A açısının açıortayı CB’yi L noktasında, B açısının açıortayı da AC’yi
b
b
K noktasında kesiyor. KB üzerinde CM ⊥ KB olacak ¸sekildeki M noktası
ve AL üzerinde CN ⊥ AL olacak ¸sekildeki N noktası için |MN| uzunlu˘ gu
kaçtır?
Çözüm : ¸Sekilden = ve
= dir. Dolayısıyla, C
||=||=49 ve ||=||=46
olur. Di˘ ger yandan,
N
||=|| ve ||=||
M L
oldu˘ gundan,  parçası  K
üçgeninin orta tabanıdır. Yani,
R
||
|| = P y B z
2 x A
olur. || =  || =  ve || =  dersek,
( +  + )= ( + )+( + ) − 
e¸sitli˘ ginden,
|| = || + || − || = || + || − || =49 + 46 − 43 = 52
olur ve dolayısıyla
|| =522= 26
bulunur.