Page 322 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2014 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 321

14. S = {1, 2, 3, ..., 999, 1000} kümesindeki sayılardan kaç tanesi
n =7 999! −5 999!
farkını böler?
Çözüm : Bir  ∈  için, 7 |  ise,  -  ve aynı ¸sekilde, 5 |  ise,  -  olur. Kısaca,
7’nin veya 5’in katı olan herhangi bir sayı ’yi bölmez.  ∈  sayısı, 5’e ve 7’ye
bölünmeyen bir sayı olsun. , Euler fonksiyonu olmak üzere,
¡
5 999! =5 ·() = 5 () ¢  ≡ 1(mod )
ve
¡ ¢ 
7 999! =7 ·() = 7 () ≡ 1(mod )
denkliklerinden, 7 999! − 5 999! ≡ 0(mod ) elde edilir. O halde, sorunun yanıtı 
kümesi içinde, 5 veya 7’nin katı olmayan sayıların sayısıdır. Buradan,
¹ º ¹ º ¹ º
1000 1000 1000
1000 − − + = 686
7 5 35
elde edilir.


15. a, b, c birbirinden farklı negatif olmayan tamsayılar olmak üzere, 3 +3 

+3 formundaki sayıları, küçükten büyü˘ ge do˘ gru sıralarsak, 101’inci sayı için
a + b + c toplamı kaç olur?
Çözüm :  kabul edebiliriz.   ’nin, bir  için, {0 1 2 3  }
sayılarından olu¸stu˘ gunu farzedelim. Bu sayıların herhangi üçünü, ¡ +1 ¢ farklı ¸sekilde
3
seçebiliriz. Bunları küçükten büyü˘ ge sıralayarak   ’yi belirleriz. Di˘ ger yandan,

3 +1  3 +3 −1 +3 −2
oldu˘ gundan, her farklı    ≤  için,


3 +1  3 +3 +3 
olur. ¸Simdi, 101’inci sayı için,   ’yi bulalım.
 =8 alınırsa, ¡ ¢ =84 olaca˘ gından, 3 +3 +3 formunda 101 sayı elde etmek
9



3
mümkün de˘ gildir.
 =9 iken, ¡ ¢ = 120 olaca˘ gından, 101’inci sayıda, 3’ün en büyük üssünün  =9
10
3
olması gerekti˘ gi sonucuna ula¸sırız.
9
Böylece, 101’inci sayı 3 +3 +3 formunda olacaktır. ¸Simdi, 3 +3 formundaki




101 − 84 = 17’inci sayıyı bulmalıyız.
6


Di˘ ger yandan, ¡ ¢ =15 olaca˘ gından, {0 1 2 3 4 5} sayılarıyla 3 +3 formunda
2
6
0
6
15 sayı yazabiliriz. O halde, 16’ıncı sayımız 3 +3 ve 17’inci sayımız da 3 +3 1
1
6
olaca˘ gından, 101’inci sayı 3 +3 +3 olarak elde edilir. Yanıt : 9+6+1 = 16.
9