Page 323 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

322 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

9 µ¹ 20 º ¹ 20 º¶
X 3 3
16. S = 10  + 10 20− toplamının 9’a bölümünden kalan
3 +3 3 +3
=0
kaçtır? (Burada, bxc ifadesi, x sayısının tamde˘ gerini göstermektedir).
3 20
Çözüm :  ()= diyelim. Önce,  ()+  (20 − ) de˘ gerinin daima sabit
3 10 +3 
oldu˘ gunu görelim. Gerçekten,
3 20 3 20 3 20 3 10+
+ = +
3 10 +3  3 10 +3 20− 3 10 +3  3 10 +3 
3 10 ¡ 3 10 +3  ¢ 10
= =3
3 10 +3 
oldu˘ gundan,  ()+  (20 − )= 3 10 olur.  () ve  (20 − ) de˘ gerlerinin bir
10
tamsayı olmayaca˘ gı açıktır. O halde, b ()c+b (20 − )c ≤ 3 −1 olabilir. Di˘ ger
yandan, tamde˘ gerin bc ≤  bc +1 özelli˘ gini kullanırsak,
 ()  b ()c +1
 (20 − )  b (20 − )c +1
e¸sitsizliklerinden,
3 10  b ()c + b (20 − )c +2 veya 3 10 − 2  b ()c + b (20 − )c
elde edilir. O halde, b ()c + b (20 − )c =3 10 − 1 bulunur. Buna göre, istenen
¡ 10 ¢
toplam :  =10 3 − 1 bulunur. Buradan,  ≡−10 ≡ 8(mod9) olur.

p
2
17. a 1 ,a ,a , ... pozitif sayıları, her n ∈ N için, a +1 = a +1 e¸sitli˘ gini
2
3

sa˘ glasın. E˘ ger, a 2 =3·a  e¸sitli˘ gi sa˘ glanacak ¸sekilde bir k ∈ N de˘ geri bulunu­
yorsa, a 11 de˘ geri kaçtır?
2
Çözüm : Her  ∈ N için,  2 +1 −  =1 e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. Buna göre,

 =   +1  2 − 1 için, toplarsak,
2−1
X ¡ 2 2 ¢ 2 2 2 2 2
 =  −  =  −  =(3  ) −  =8
+1  2   
=
elde edilir. Yani,  = 8’dir. Di˘ ger taraftan,
2

−1
X ¡ 2 2 ¢ 2 2
 − 1=  −  =  − 
+1   1
=1
olaca˘ gından,

2
2
 =  −  +1 = −  +1
1 
8
bulunur.