Page 324 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 324
2014 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 323
0 olaca˘ gından,
2
1
− +1 0
8
8 1
2
e¸sitsizli˘ ginden, olur ki, bu =1 demektir. O halde, = olur. Buna göre,
1
7 8
10
X ¡ 2 2 ¢ 2 2 2 1
10 = − = − = −
+1 11 1 11 8
=1
r
1 9 √
e¸sitli˘ ginden, 11 = 10 + = 2 bulunur.
8 4
18. Pascal üçgeninin "¸Sehrazad Satırı" diye adlandırdı˘ gımız,
1, 1001,..., 1001, 1
¸ seklindeki 1001’inci satırındaki sayıların kaç tanesi 5’e bölünmez?
1001
Çözüm : Soruda bizden istenen, (1 + ) ifadesinin açılımında katsayılardan kaçının
5’e bölünmedi˘ gidir. Her =1 2 3 4 için, ¡ ¢ sayısı 5’e bölündü˘ günden, her ∈ Z
5
için, 5 5
(1 + ) ≡ 1+ (mod 5)
25 ¡ 5 ¢ 5 25
(1 + ) ≡ 1+ ≡ 1+ (mod 5)
³ ´ 5
125 25 ¡ 25 ¢ 5 ¡ 125 ¢
(1 + ) = (1 + ) ≡ 1+ ≡ 1+ (mod 5)
625 625
(1 + ) ≡ 1+ (mod 5)
ve 1001 = 625 + 3 · 125 + 1 oldu˘ gundan,
³ ´ 3
1001 625 125
(1 + ) =(1 + ) (1 + ) (1 + )
¡ 625 ¢¡ 125 ¢ 3
≡ 1+ 1+ (1 + )(mod5)
¡ 625 ¢¡ 250 125 375 ¢
≡ 1+ 1+3 · +3 · + (1 + )(mod5)
bulunur. O halde, 1001’inci satırdaki sayıların
2 · 4 · 2=16
tanesi 5’e bölünmez.
19. ABCD kiri¸sler dörtgeninde, [AC] ve [BD] kö¸segen D
lerinin kesi¸sim noktası E olsun. |AB| = |BC| = |CA|
|BE| =20 ve |ED| =5 oldu˘ guna göre, |AB| de˘ geri A E C
kaçtır? O
B
