Page 326 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 326
2014 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 325
3
2
2
21. f (x) = x +3x +4x −5 ve g (x) = x −x −4x +5 olmak üzere,
3
4
4
0 <x ≤ p ko¸sulunu sa˘ glayan bir x tamsayısı için, p asal sayısı f (x) ve g (x)’i
bölmektedir. Buna göre, p asal sayısının alabilece˘ gi de˘ gerlerin toplamı kaçtır?
3
3
3
4
Çözüm : ()+ ()= 2 +2 =2 ( +1) oldu˘ gundan, sayısı 2 ( +1)
ifadesini de bölmelidir. Buna göre,
i) =2 ise, (1) = 3 oldu˘ gundan, | () ve 0 ≤ ko¸sulunu sa˘ glayan bir
do˘ gal sayısı yoktur.
ii) | ve dolayısıyla, | ise, = olaca˘ gından, () ≡ 5(mod ) olur. Bu ise
3
=5 olmasını gerektirir. 5 | (5) ve 5 | (5) oldu˘ gu açıktır. O halde, =5 için,
() ve ()’i bölen 0 ≤ 5 de˘ geri vardır.
iii) | +1 ise, ≡−1(mod ) ve dolayısıyla () ≡ 3(mod ) oldu˘ gundan,
=3 olabilir. =2 için, (2) = 51 (2) = −3 olur ve her iki sayıda 3’e bölünür.
Ohalde, =5 ve =3 olabilir. Yanıt : 8.
22. Tüm terimleri tamsayılar olan ve ilk 10 terim içinde 1 ve 31 bulunan kaç
farklı aritmetik dizi vardır?
Çözüm : Aritmetik dizinin terimlerini 1 2 ile gösterelim. Tüm terimler tamsayı
ise, 1 ve tamsayı olmalıdır. Her için, = 1 +( − 1) oldu˘ gunu kullanaca˘ gız.
∈ {1 2 10} olmak üzere, =1 ve =31 olsun. O halde,
½
= 1 +( − 1) =1
= 1 +( − 1) =31
denklem sisteminden,
30 30
= ve 1 =1 − ( − 1) ·
− −
elde edilir. 1 ve ’nin tamsayı olması için gerek ve yeter ko¸sul, | − | sayısının
30’un böleni olmasıdır. Di˘ ger yandan, ∈ {1 2 10} oldu˘ gundan dolayı,
| − | 10’dur ve | − | sayısı 1 2 3 5 veya 6 sayılarından birisi olabilir. Böylece,
| − | ∈ {1 2 3 5 6} ve ∈ {1 2 10}
olacak ¸sekildeki ( ) ikililerini sayalım.
| − | =1 olacak ¸sekilde, 2 · 9=18 tane ( ) ikilisi vardır.
| − | =2 olacak ¸sekilde, 2 · 8=16 tane ( ) ikilisi vardır.
| − | =3 olacak ¸sekilde, 2 · 7=14 tane ( ) ikilisi vardır.
| − | =5 olacak ¸sekilde, 2 · 5=10 tane ( ) ikilisi vardır.
| − | =6 olacak ¸sekilde, 2 · 4=8 tane ( ) ikilisi vardır.
Sonuç olarak, istenen ¸sekildeki aritmetik dizilerin sayısı :
18 + 16 + 14 + 10 + 8 = 66
bulunur.
