Page 327 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

326 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

23. m = n (9m − 2n) denklemini sa˘ glayan kaç (m, n) tamsayı ikilisi vardır?
4
Çözüm : Denklemi düzenlersek,
2
4
2 − 9 +  =0
olur. ( )= (0 0)’ın bu denklemin bir kökü oldu˘ gu açıktır. Di˘ ger yandan, ( )
kök ise, (− −)’de bir köktür. O halde,    0 kabul ederek çözüme devam ede­
lim. Denklemi  de˘ gi¸skenine göre ikinci dereceden bir denklem olarak dü¸sünürsek,
tamsayı çözümün olabilmesi için,
4
2
4 =81 − 8 =  2 ¡ 81 − 8 2 ¢
2
diskriminatının bir tamkare olması gerekir.  zaten tamkare oldu˘ gundan, 81 − 8 2
bir tamkare olmalıdır.  4 olaca˘ gı açıktır.  =1 2 ve 3 de˘ gerleri için kontrol
etmemiz yeterlidir.
 =1 ise, 4 =1 · (81 − 8) = 73 bir tamkare de˘ gildir.
 =2 ise, 4 =4 · (81 − 8 · 4) = 4 · 49 bir tamkaredir.
 =3 ise, 4 =9 · (81 − 8 · 9) = 9 · 9 bir tamkaredir.
√
9 ± 4
Buna göre,  12 = de˘ gerinin bir tamsayı olup olmadı˘ gını görelim.
4
18 + 2 · 7 18 − 2 · 7
 =2 ise,  1 = =8 ∈ Z;  2 = =1 ∈ Z
4 4
27 + 3 · 3 27 − 3 · 3 9
 =3 ise,  1 = =9 ∈ Z;  2 = =  ∈ Z
4 4 2
elde edilir. Sonuç olarak,

( ) ∈ {(2 8) ; (2 1) ; (3 9) ; (0 0) ; (−2 −8) ; (−2 −1) ; (−3 −9)}
bulunur. Yani, 7 çözüm vardır.

+ +
24. f : R → R fonksiyonu kesin azalan bir fonksiyon olmak üzere, her x ∈ R
µ ¶
3 1
için,  (x) · f f (x) + = oldu˘ guna göre, f (9) =?
2x 4
3
Çözüm :  ()+ =  diyelim. Bu durumda,  0 için,
2
1 1
 ()  ()= ve dolayısıyla  ()=
4 4 ()
µ ¶
3 1
olur. Di˘ ger taraftan,  ()   ()+ = e¸sitli˘ ginde  yerine  yazarsak,
2 4
µ ¶
3 1
 ()   ()+ =
2 4
yazılabilir.