Page 330 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2015 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

³ ´ 
 y 2 1
1. (yx) = ve x = denklem sisteminin pozitif reel sayılarda kaç
x y
çözümü vardır?
1
Çözüm :  = ’yi denklemde yerine yazalım.
 2
µ ¶ 1 2 µ ¶  µ ¶ 1 2 µ ¶ 3
³ ´ 
  1 1 1 1
() = ⇒ = ⇒ =
   3  
elde edilir. Buradan,
i)  =1 olursa,  =1 elde edilir. ( )= (1 1) bir çözümdür.
1 p √
ii)  6=1 ise, =3 olmalıdır ki, buradan,  = 3 13 ve  = 3 9 elde edilir.
 2
Buna göre, denklemin sadece 2 çözümü vardır.
¡√ √ ¢ 1515
2. 3 3+ 5 5 ifadesinin binom açılımında, toplananların kaç tanesi ras­
yonel sayı olacaktır?

 X ¡ ¢  −

Çözüm : ( + ) =   formülünde,  = 1515 olmak üzere,

=0
¡√ ¢  ¡√ ¢ 1515−
3 5
3 · 5  ( =0 1 2 3  1515)
sayılarının rasyonel olması için  sayısı 3’ün katı ve (1515 − ) sayısı da 5’in katı
olması gerekir. Dolayısıyla,  sayısının 15’in katı olması gerekir. Buradan, istenen
1515
¸ sekildeki  de˘ gerlerinin sayısı : + 1 = 102 elde edilir.
15

3. (a + b + c + d) ifadesinin açılımındaki terim sayısı f (n) olmak üzere,
50
Y
(f (2n) −f (2n − 1))
=1
sayısı 2 sayısına tam bölünüyorsa, p sayısı en fazla kaç olabilir?


Çözüm : ( +  +  + ) ifadesinin açılımında, ¡ +3 ¢ terim vardır. O halde,
¡ +3 ¢ 3
 ()= olur. Buna göre,
3
1
 () −  ( − 1) = ( +1) ( +2)
2
oldu˘ gu görülebilir. O halde,  =2 için,
1
 (2) −  (2 − 1) = (2 +2) (2 +1)
2
yazılabilir.