Page 332 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2015 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 331

5. A¸sa˘ gıdaki sayıların en küçü˘ gü kaçtır?
r r r r r r r r
13 108 14 108 15 108 107 108
+ ; + ; + ;  ; +
12 13 12 14 12 15 12 107
Çözüm : Sayılar,  =13 14  107 olmak üzere,
r r
 108
+
12 
¸ seklindedirler. Aritmetik ­ Geometrik Ortalama e¸sitsizli˘ ginden,
r r r
 108 108 √
+ ≥ 2 4 =2 3
12  12
elde edilir. E¸sitlik durumu,
r r
 108 √
= ⇔  = 12 · 108 = 36
12 
iken sa˘ glanır.

abc + bcd
6. a, b, c, d pozitif reel sayılar olmak üzere, S = 3 3 3 ifadesinin
3
a +b +c +d
maksimum de˘ geri kaçtır?
Çözüm :
µ 3 3 ¶ µ 3 3 ¶
    3
3
3
3
3
3
 +  +  +  =  + + + + + 
2 2 2 2
biçiminde yazıp, Aritmetik ­ Geometrik ortalama e¸sitsizli˘ gini kullanalım.
s s
 3  3 3 () 3 3  3  3 3 3 () 3 3
3
 + + ≥ 3 = √ ve + +  ≥ 3 = √
2 2 4 3 4 2 2 4 3 4
e¸sitsizliklerinden,
3
3
3
3
3
 +  +  +  ≥ √ ( + )
3
4
elde edilir. Böylece,
√
3
4
 ≤
3
√
√ 3 4
olur. E¸sitlik durumu,  0 olmak üzere,  =  =   =  = 3 2 için,  =
3
√
bulunabilir. (Örne˘ gin,  =  =1 =  = 3 2 alınırsa,
√ √
3
2 4 3 4
 = =
1+1+2+2 3
olur. )