Page 333 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

332 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

7. a 1 =2 ve her n ≥ 1 için, 5a +1 = a  +4 sa˘ glansın. A  =a 1 +a 2 +··· +a 
¯ ¯
¯ 5 ¯ 1
¯
olmak üzere, A  −n− ¯ < e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan en küçük n sayısı
4 2500
¯ ¯
kaçtır?
Çözüm : 5 +1 =   +4 ifadesini
5 +1 − 5=   − 1
¸ seklinde yazalım. Buradan,   =   − 1 denilirse, her  ≥ 1 için,
 
 +1 =
5
1
olur. Yani, (  ) dizisi, dizi çarpanı olan geometrik bir dizidir. Her  için,
5
µ ¶ −1 µ ¶ −1
1 1
  =  1 =  ( =1 2 )
5 5
yazılabilir. O halde,
µ ¶ −1
1 1
 1 +  2 + ··· +   =1 + + ··· +
5 5
µ ¶ 
1
1 −
5
=
1
1 −
5

µ µ ¶ ¶
5 1
= 1 −
4 5
olur. Buradan,

µ µ ¶ ¶
5 1
  =  1 +  2 + ·· · +   =  + 1 −
4 5
ve dolayısıyla,
¯ ¯
¯ 5 ¯ 1 1
  −  − = ·
¯ ¯
¯ 4 ¯ 4 5 −1
olur.  =5 için, sa˘ g taraf,
1 1 1
· =
4 625 2500
olur. O halde,
¯ ¯
¯ 5 ¯ 1
¯   −  − ¯ 
4 2500
¯ ¯
e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan en küçük  sayısı 6’dır.