Page 334 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2015 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 333

8. Birim karelerden olu¸san 7 × 9 ölçülerinde bir tahtanın her karesine 7 veya 9
rakamı yazılacaktır. Her satır ve sütunda çift sayıda 7 rakamı olması ko¸suluyla,
tahta m farklı ¸sekilde doldurulabiliyorsa, m sayısının pozitif bölenlerinin sayısı
kaçtır?

Çözüm : ¸Sekilde görüldü˘ gü gibi, son satır ile son sütun
haricindeki 6 × 8 ebatındaki tahtaya istedi˘ gimiz gibi 7
veya 9 rakamlarını yerle¸stirebiliriz. Her kareye 2 farklı
rakam yazılabilece˘ ginden dolayı, 6 × 8 ebatındaki tahta
2 6·8 farklı ¸sekilde doldurulabilir. 7 × 8 tablosundaki
son satır (7’inci satır) ve 6 × 9 tablosundaki son sütun
(9’uncu sütun) ise, satır ve sütunlardaki 7 rakamlarının
sayısına göre, 7 rakamı sayısı çift olacak ¸sekilde, 7 veya 9 rakamlarından biriyle tek
türlü doldurulabilir. E˘ ger herhangi bir satırdaki 7 rakamı sayısı tek ise, bu satırın
9’uncu sütundaki karesine 7 rakamı yazmalıyız. Fakat, 7 rakamı sayısı çiftise, bu
satırın 9’uncu sütundaki karesine 9 rakamı yazmalıyız.
Böylece, 6 × 8 tablosu doldurulduktan sonra 6 × 9 tablosunun son sütunu ve 7 × 8
tablosunun son satırı tek türlü doldurulabilir. Di˘ ger yandan, 6×9 ve 7×8 tablolarında
çift sayıda 7 bulundu˘ gundan, 7 × 9 tablosunun sa˘ g alt karesindeki sayı da tek türlü
belirlenmi¸solur.
Kısaca, istenen ko¸sula uygun olarak tabloyu doldurabilme sayısı, tamamen, 6 × 8
ebatındaki tahtayı doldurma sayısına ba˘ glıdır. Sonuç olarak, istenen ¸sekilde
 =2 6·8
doldurma yapılabilir. Bu sayının pozitif bölen sayısı da 49 olarak bulunur.

9. Reel (gerçel) a sayısının kaç tane de˘ geri için,
2
(x − 1) − |x − a| =0
denkleminin tam olarak üç farklı reel çözümü olur?
2
Çözüm : ( − 1) = | − | denkleminde,  =1 olursa,
 =0 =1 ve  =2
çözümleri elde edilir. ¸Simdi,  6=1 durumunu ele alalım. Verilen denklemin sa˘ glan­
ması için,
2
2
( − 1) =  −  veya ( − 1) = − + 
sa˘ glanmalıdır. Buradan,
2
2
 − 3 +( +1) = 0 veya  −  +(1 − )= 0
elde edilir.