Page 335 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

334 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

Bu denklemlerden birinin bir (çakı¸sık) ve di˘ gerinini de 2 çözümü olmasını istiyoruz.
4 1 =9 − 4( +1) = 5 − 4 ve 4 2 =1 − 4(1 − )= 4 − 3
oldu˘ gundan, 4 1 =0 4 2  0 ve 4 1  0 4 2 =0 olması durumlarında  de˘ gerini
bulalım. Bu iki durumda da, 3 çözüm elde etmi¸solaca˘ gız.
i) 4 1 =0 4 2  0 ise,
5 − 4 =0 ve 4 − 3  0
sa˘ glanmalıdır.  =54’ün sa˘ gladı˘ gı kolayca görülür.
ii) 4 1  0 4 2 =0 ise,
5 − 4 0 ve 4 − 3=0
sa˘ glanmalıdır. Burada da,  =34’ün sa˘ gladı˘ gı kolayca görülür.
Ohalde,  =1 =34 ve  =54 de˘ gerleri için verilen denklemin üç farklı reel
çözümü vardır.

10. A¸sa˘ gıdaki denklemlerde, x  tamsayıları −1, 1, 2 ve 3 sayılarından olu¸smak­
tadır. De˘ geri 2 ve 3 olan e¸sit sayıda x  vardır. Ayrıca, −1, 1, 2, 3 sayılarından
herbiri en az 1 kez bulunmaktadır. Buna göre
4
4
4
x 1 +x 2 + ··· + x  =5 ve x +x + ·· · + x =995
1 2 
5
ise, x +x + ·· · + x ifadesinin minimum de˘ geri için n kaç olur?
5
5
1 2 
Çözüm :  tane −1,  tane 1,  tane 2 ve  tane 3 olsun. Buna göre,
− +  +2 +3 = − +  +5 =5
 +  +16 +81 =  +  +97 = 995
olur. Bizden, − +  +32 + 243 = − +  + 275 ifadesinin minimum de˘ geri
için, en küçük  de˘ geri isteniyor.
− +  + 275 = − +  +5 + 270 = 5 + 270
¸ seklinde yazabiliriz.  =1 alınırsa, minimum de˘ geri elde ederiz ki, bu durumda,
½
− +  =0
 +  = 995 − 97
denklem sisteminin çözümünden,  = 449 = 449 olur. Buna göre,  en küçük
 = 449 + 449 + 1 + 1 = 900
olabilir.

11. GANANGANA kabilesinin dilinin alfabesinde sadece N, G ve A harfleri
vardır. Her kelimede çift sayıda (sıfır dahil) A harfi bulunmakta ve tüm kelimeler
9 harften olu¸smaktadır. Buna göre, bu kabilenin sözlü˘ günde en fazla kaç kelime
olabilir?