Page 336 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2015 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 335

Çözüm : A harfi, kelimelerde 2  =0 1 2 3 4 kez bulunabilir. 2 yere A harfini
yerle¸stirdikten sonra geriye 9 − 2 harf kalır ki, bu yerlere N veya G yazılabilece˘ gin­
den, bu yerler 2 −2 farklı ¸sekilde doldurulabilir. Böylece, toplam olu¸sturulabilecek
kelime sayısı :
4 µ ¶
X 9
2 9−2
2
=0
olacaktır. Bu toplamı do˘ grudan hesaplarız. Ya da,
9 ¡ ¢ 9 ¡ ¢ 8 ¡ ¢ 0
9
9
9
(1 + 2) = 2 + 2 + ··· + 2
0 1 9
9 ¡ ¢ 9 ¡ ¢ 8 ¡ ¢ 0
9
9
9
− (1 − 2) = − 2 + 2 − ··· + 2
0 1 9
à !
4 µ ¶
X 9
9
3 +1 = 2 2 9−2
2
=0
e¸sitli˘ ginden,
4 µ ¶ 9
X 9 9−2 3 +1
2 = = 9842
2 2
=0
buluruz. O halde, kabilenin sözlü˘ günde en fazla 9842 kelime olabilir.
12. Birbirinden farklı m ve n pozitif tek tamsayıları için,
m m +1 m +2 m +3 m +4
, , , ,
n n +1 n +2 n +3 n +4
kesirlerinin tamamı sadele¸sebildi˘ gine göre, en küçük m + n sayısının kaç pozitif
tamsayı böleni vardır?
Çözüm:   oldu˘ gunu kabul edebiliriz.  =  +  diyelim. Buna göre,
  +1  +2  +3  +4
   
 +  ( +1)+  ( +2)+  ( +3) +  ( +4) + 
¸ seklinde yazılabilir. Tüm kesirlerin sadele¸sebilmesi için,
  +1 +2 +3 +4
kesirlerinin tamamının  sayısı ile ortak çarpanı olması gerekir.  +  sayısının en
küçük de˘ gerini bulmak için,  tek sayısını en küçük 3 olalım. Buna göre,
3 4 5 6 7
sayılarının herbiri ile ortak böleni olan en küçük  sayısı, 2 · 3 · 5 · 7 = 210’dur. O
halde,  = 210 alınırsa,  =  +  =213 olacaktır. Bu durumda kesirler
3 4 5 6 7
   
213 214 215 216 217
3 3
olarak bulunur. Yani,  +  de˘ geri en küçük, 213 + 3 = 216 = 2 3 olur. O halde,
pozitif tamsayı böleni 4 · 4=16’dır.