Page 337 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

336 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

1 ¡√ ¢ 4 1
13. < 5−2 < e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan n tamsayısı kaçtır?
n +1 n
√ 1
Çözüm : 5 − 2= √ oldu˘ gundan, verilen e¸sitsizli˘ gi
5+2
¡√ ¢ 4
 5+2  +1
¸ seklinde yazabiliriz.
¡√ ¢ 2 √ ¡√ ¢ 4 √
5+2 =9 + 4 5 ve 5+2 = 161 + 72 5
¡√ ¢ 2 √ ¡√ ¢ 4 √
5 − 2 =9 − 4 5 ve 5 − 2 = 161 − 72 5
e¸sitliklerinden,
¡√ ¢ 2 ¡√ ¢ 2
5+2 + 5 − 2 = 322
¡√ ¢ 4
bulunur. Di˘ ger yandan, 0  5 − 2  1 oldu˘ gundan,
¡√ ¢ 4
321  5+2  322
elde edilir. Buna göre,  = 321 bulunur.

14. ab + ac + bc = abc +5 denklemini sa˘ glayan kaç tane (a, b, c) pozitif
tamsayı çözüm üçlüsü vardır?
Çözüm : Simetriden dolayı, 1 ≤  ≤  ≤  farzedelim. Denklemin her tarafını 
ile bölelim
1 1 1 5
+ + =1 +
   
olacaktır. Buradan,
5 1 1 1 3
1  1+ = + + ≤
    
yazılabilir. Buna göre,  =1 veya  =2 olabilir.
1 1 5
i)  =1 ise, + = ⇒  +  =5 e¸sitli˘ ginden,  =1 =4 veya  =2 =3
  
bulunur. Buradan, 3+6 = 9 çözüm elde edilir.
1 1 1 5
ii)  =2 ise, + = + e¸sitli˘ ginden,
  2 
1 1 5 1 1 2
 + = + ≤
2 2    
olaca˘ gından,  4, bulunur. Buna göre,
1 5 1 1
 =3 ⇒ + = + ⇒  = −4 (çözüm yok);
2 3 3 
1 5 1 1
 =2 ⇒ + = + (çözüm yok).
2 2 2 
O halde istenen ¸sekilde 9 çözüm vardır.