Page 338 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2015 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 337

B
15. Bir ABC dik üçgeninde
hipotenüs [AB] ve hipotenüse ait F D
yükseklik de [CD]’dir. [CD]
G
çaplı bir çember, [BC]’yi F
noktasında ve [AC]’yi de E
noktasında kesiyor. [CD] ve
[EF ]’nin kesi¸sim noktası G ol­ C E A
2
mak üzere, |GC| = |CE||CF |
e¸sitli˘ gi sa˘ glanıyorsa, ABC üç­
genin en küçük açısı kaç derecedir?

B
D Çözüm : Çapı gördükleri
F
için,
G ()=()=90 ◦
b
b
olur. Buna göre, 
H
bir dikdörtgendir. O halde,
[] ve [] kö¸segenleri
C E A birbirini ortalar.
Kenarortay ayırdı˘ gı parçalara e¸sit olaca˘ gından,

|| = || = ||
elde edilir. []  üçgeninin yüksekli˘ gi olsun.
|||| ||||
 ()= =
2 2
2
e¸sitli˘ ginde, soruda verilen || = |||| e¸sitli˘ gi kullanılırsa,
2
|||| = ||
bulunur. || =2 || =2 || yazılırsa,
2
2 |||| = ||
e¸sitli˘ ginden, || =2 || elde edilir ki, bu ()= 30 olması demektir.
◦
b
Buna göre,
1
()= ()= (180 − 30 )= 75
◦
◦
b
b
2
olaca˘ gından, ()= 15 bulunur.
◦
b