Page 339 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

338 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

√ √ √
16. P ( 2+ 3) = 3+1 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan rasyonel katsayılı en küçük dere­
celi P (x) polinomu için P (3) de˘ geri kaçtır?
√ √ 3 √ √
Çözüm :  = 3+ 2 diyelim. Bu durumda,  =11 2+9 3 olur. Bu e¸sitlik­
√
lere göre,  +  +  polinomunda uygun  ve  de˘ gerleri seçilerek 2 teriminin
3
¡√ √ ¢ √
olmaması sa˘ glanabilir ve,  2+ 3 = 3+1 elde edilebilir. Buna göre,
³ √ √ ´ ³ √ √ ´ ³ √ √ ´ √
 2+ 3 =  11 2+9 3 +  3+ 2 +  = 3+1
e¸sitli˘ ginden,  =1 oldu˘ gu görülür. Di˘ ger yandan,
½
11 +  =0
9 +  =1
1 11
olmalıdır ki, buradan,  = −  = olur. Böylece,
2 2
− 3 11
 ()= + +1
2 2
bulunur. Buna göre,  (3) = 4 olur.

17. Dar açılı bir ABC üçgeninde AD açıortay, O
çevrel çemberin merkezi; P ∈ [AC] ve AO ⊥ DP ;
|BD| =4, |CP | =3 ve |DC| =6 oldu˘ guna göre,
|AP | kaç birimdir?

Çözüm:  do˘ grusu çevrel çemberi ’de kessin. []
çap oldu˘ gundan ()=90’dır.  bir kiri¸sler
dörtgeni oldu˘ gundan

()= ()=  ise ()= 
olur.  ve  üçgeninde

()= ()= 
()= ()= 
ve  ortak kenar oldu˘ gundan  = ’dir.
∼
Bu nedenle || = ||’dir. || = || = 
˙
olsun. Iç açıortay teoremine göre
|| ||   +3
= =⇒ =
|| || 4 6
olup,  = || = || =6 cm bulunur.