Page 340 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2015 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 339

B
18. 10 metre derinli˘ gindeki bir kuyuya dü¸sen bir kur­
ba˘ ga, kuyudan çıkmaya çalı¸smaktadır. A noktasındaki
kurba˘ ga, yukarıya do˘ gru 1 veya 2 metre zıplayabilmek­
tedir. Kurba˘ ga kuyudan çıkmak isterken, bir defaya
mahsus olarak 1 metre a¸sa˘ gıya kaymaktadır. Buna göre, 10 m
bu kurba˘ ga A noktasından, kuyunun çıkı¸sı olan B nok­
tasına kaç farklı ¸sekilde ula¸sabilir?
A
Çözüm : Kuyunun dibini 0 ile, kuyunun çıkı¸sını da 10 ile gösterelim. Buna göre,
kurba˘ ganın ’inci metreye hiç geri dü¸smeden farklı çıkabilme sayısını  () ile ifade
edelim.  (), Fibonacci dizisini gösterir. Gerçekten,
 (1) = 1 (2) = 2 (3) = 3 (4) = 5 ve  ( +2) =  ( +1)+  ()
¸ seklinde ifade edebiliriz. Fakat, bu hesaplamalar sırasında, 1 metre a¸sa˘ gı dü¸sme tama­
men gözardı edilmi¸stir. ’inci metrede 1 metre a¸sa˘ gıya dü¸smesi durumunda, yukarı
do˘ gru (11 − ) metre çıkması gerekir.
Örne˘ gin, 4 metre yukarı çıksın. Bunu  (4) farklı ¸sekilde yapabilir. Fakat, 4’üncü
metrede1metregeriyedü¸sünce, geriye 11−4=7 metresi kalacaktır ki, bu 7 metreyi
de  (7) farklı ¸sekilde çıkabilir.
Buna göre, kurba˘ ganın kuyudan farklı ¸sekilde çıkı¸s sayısını bulmak için,
10
X
 (1)  (10) +  (2)  (9) +  (3)  (8) + ··· +  (10)  (1) =  ()  (11 − )
=1
toplamını hesaplamak yeterlidir.  (5) = 8 (6) = 13 (7) = 21 (8) = 34
 (9) = 55 ve  (10) = 89 oldu˘ gundan, istenen de˘ ger,
2(1 · 89 + 2 · 55 + 3 · 34 + 5 · 21 + 8 · 13) = 1020
bulunur.

19. Reel (gerçel) sayılar kümesinde tanımlanan bir N i¸slemi, her reel (gerçel) a, b
ve c sayıları için, aNa =0 ve aN (bNc) = (aNb) +c özelliklerini sa˘ gladı˘ gına
göre, (31N13) N7 sayısı kaçtır?
Çözüm : N =0 oldu˘ gundan, her  ve  için,

 =(N)+  = N (N)= N0= N (N)= (N)+ 
elde edilir. O halde, N = − bulunur. O halde, (31N13) N7=(31 − 13)−7=11
elde edilir.
Not : Bu soruya "test mantı˘ gı" ile yakla¸sıldı˘ gında, aslında çok basit bir sorudur. Her
 için, N =0 oldu˘ gundan, N i¸sleminin çıkarma i¸slemi oldu˘ gu anla¸sılır ve yanıt
hemen bulunabilir.