Page 342 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2015 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 341

Aynı yayı gören çevre açılardan
()= ()= 15 ◦
b
b
’dir. Buradan
()=55 +15 =70 ◦
◦
◦
b
olur.
()= ()= 90 ◦
b
b
oldu˘ gundan,  bir kiri¸sler
dörtgeni olur. Bundan dolayı,
()= ()= 70 ◦
b
b
bulunur.

22. Hipotenüsü 2015 ve di˘ ger kenarları da tamsayı olan kaç farklı dik üçgen
vardır? (Not : c hipotenüs uzunlu˘ gu olmak üzere, (a,b,c) üçgeni ile (b,a,c) üçgeni
farklı kabul edilecektir.)
Çözüm :  +  = 2015 =5 13 31 ¸seklinde yazalım. (  2015) üçlülerinin
2
2
2
2
2
2
˙
sayısını arayalım. Istenilen dik üçgenler, hipotenüsleri
5, 13, 31, 5 · 13 5 · 31, 13 · 31 ve 2015
olan üçgenlerin uygun katları alınarak elde edilebilir. Kenarları tamsayı ve
OBEB(  )= 1 olan dik üçgene "temel dik üçgen" diyelim. Her temel dik üçgeni
¡ 2 2 2 2 ¢
 −   2  + 
formunda yazabiliriz. Yani,  +  de˘ geri yukarıda belirtilen hipotenüs de˘ ger­
2
2
˙
lerinden biri olabilir. Iki tamsayının kareleri toplamının 4’e bölümünden kalan 0,1
veya 2 olabilir. Burada,
31 5 · 31, 13 · 31 ve 2015
sayıları 4 +3 formunda oldu˘ gundan, bu sayıların iki kare toplamı olarak yazıla­
bilmesi mümkün de˘ gildir. O halde, geriye sadece 5, 13 ve 5·13 de˘ gerleri için kontrol
etmek yeterlidir.
2
i)  +  =5 ⇒  =2 =1 olaca˘ gından, (3 4 5) üçgeni olabilir ki, buradan,
2
2
 =13 · 31 · 3 ve  =13 · 31 · 4 alınırsa,  +  = 2015 olur. Böylece hipotenüsü
2
2
2015 olan 2 üçgen bulunur.
ii)  +  =13 ⇒  =3 =2 olaca˘ gından, (5 12 13) üçgeni olabilir ki,
2
2
2
2
buradan,  =(5 · 31) · 5 ve  =(5 · 31) · 12 alınırsa,  +  = 2015 olur. 2 üçgen
2
daha elde ettik.