Page 343 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

342 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

iii)  +  =65 ⇒  =1,  =8 veya  =4 =7 olaca˘ gından, buradan da,
2
2
(63 16 65) ve (33 56 65) dik üçgenleri elde edilir. Buradan, hipotenüsü 2015 olan
4 üçgen daha buluruz. Sonuç olarak, istenen ¸sekilde 8 üçgen oldu˘ gu görülür.
23. x bir reel (gerçel) sayı olmak üzere,
4x 1 1 x √ 2 √
a = −  b = −  c = x− 3 ve d = x −3 3
3 x x 3
sayılarından tam olarak 3 tanesi rasyonel sayıdır. Buna göre d kaçtır?
Çözüm :  ve  sayılarından biri irrasyonel olmak zorundadır. Zira, ikisi de rasy­
onel olursa,  =  +  sayısı da rasyonel olaca˘ gından,  ve  irrasyonel olur ve
verilen sayıların 3 tanesinin rasyonel olması durumu mümkün olmaz. O halde,  ve
√ √
 sayılarının her ikisi de rasyonel olmalıdır.  =  − 3 ⇒  =  + 3 ( ∈ Q)
√
2
oldu˘ gunu kullanalım.  =  − 3 3 ise,
³ ´ 2
√ √ √
2
 =  + 3 − 3 3=  + 3(2 − 3) + 3
e¸sitli˘ gine göre,  sayısının rasyonel olması için,  =32 olması gerekir. Buradan,
9 21
2
 =  +3 = +3 =
4 4
√ 3
elde edilir. ( =32 için,  = 3+ olması gerekti˘ ginden,
2
√ √ ¡ √ ¢
4 3+6 2 4 3+6 2 2 3 − 3
 = − √ = − =4 ve
3 2 3+3 3 12 − 9
√ ¡ √ ¢ √
2 2 3+3 2 2 3 − 3 2 3+3 √ 5
 = √ − = − = 3 −
2 3+3 6 12 − 9 6 2
oldu˘ gu görülebilir. Yani, sayılardan üçü rasyonel ve biri irrasyoneldir).
2
24. a> 1 olmak üzere, her reel(gerçel) x için, x +ax +10b ≥ 0 e¸sitsizli˘ gi
b +11
sa˘ glansın. S = ifadesinin alabilece˘ gi en küçük de˘ ger kaçtır?
a − 1
 2
2 sa˘ glanır. O halde,
Çözüm : Verilene göre, 4 =  − 40 ≤ 0 yani,  ≥
40
 2
2
 +11 40 +11 1  + 440
 = ≥ = ·
 − 1  − 1 40  − 1
2
1 ( − 1) +2 ( − 1) + 441
= ·
40  − 1
µ ¶
1 441
= · ( − 1) + +2 (AGO’dan)
40 ( − 1)
1 ³ √ ´ 11
≥ · 2 441 + 2 =
40 10
elde edilir.