Page 344 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2015 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 343

 2 121
2
E¸sitlik durumu, ( − 1) = 441 ⇒  =22 ve  = = için gerçekle¸sir.
40 20
(12110) + 11 11
 = = .
22 − 1 10
25. ABC üçgeninin iç bölgesinde keyfi bir P noktası alınıyor. P ’den [BC],
[AC], [AB]’ye çizilen dikme uzunlukları sırasıyla x, y, z olsun.
|BC| |AC| |AB|
S = + +
x y z
toplamı minimum oldu˘ guna göre P noktası için a¸sa˘ gıdakilerden hangisi do˘ grudur?
A) Diklik merkezidir. B) A˘ gırlık merkezidir. C) Çevrel çemberin merkezidir.
˙
˙
D) Iç te˘ get çemberin merkezidir. E) Iç te˘ get çember üzerindedir.
Çözüm:
A

F E
c b
y
z
P
x
B D C
a
1   
()= ( +  + ) ve  = + + oldu˘ gundan,
2   
2 ·  () ·  = ( +  + )
µ ¶
  
= + + ( +  + )
  
µ ¶ µ ¶ ³ ´
      ¡ ¢
2
2
=  + +  + +  + +  + + 2
     
˙
olur. Iyi bilindi˘ gi üzere,  0 için  −→  + 1 fonksiyonu  =1’de minimum olur.

Dolayısıyla
     
+  + ve +
     
ifadelerinin minimum de˘ gerleri  =  =  iken mümkündür. Yani, ’nin minimum
oldu˘ gu durum  =  =  oldu˘ gu durumdur. Bu durum, P’nin iç te˘ get çember merkezi
olması anlamına gelir.