Page 345 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 345

2016 Sınav Sorularının Çözümleri



             1. Hakan ve Mete, beraberli˘ gin olmadı˘ gı bir oyun oynuyorlar. Düzenleme ku­
             rulu, oyunda kazanana ve kaybedene, her defasında belirli miktarda para veriyor.
             Belirli sayıda oyun sonunda, Hakan’ın 280 TL’si, Mete’nin ise 175 TL’si oldu˘ gu
             görülüyor. Mete’nin sadece 3 oyunu kazandı˘ gı biliniyor. Her oyun sonunda
             düzenleme kurulu kazanana kaç TL vermektedir?
             Çözüm : Oynanan oyun sayısı  olsun. Mete, 3 oyunu kazandıysa,  − 3 oyunu
             Hakan kazanmı¸stır. O halde,
                                     ( − 3)  +3  = 280
                                     3 +( − 3)   = 175
             denklemleri elde edilir. Taraf tarafa toplanırsa,

                                    ( + ) = 455 = 5 · 7 · 13
             Taraf tarafa çıkarılırsa,

                                  ( − 6) ( − ) = 105 = 3 · 5 · 7
             elde edilir.  =5 için,  0;  =7 için  0 olur. O halde,  =13 olur.  =13
                 ½
                     +  =35
             iken,             denklem sisteminden,  =25 elde edilir.
                     −  =15


                                                             .  .  .  .  .
             2. Ulam Spirali olarak bilinen yandaki sayı tablosu;  . 21 22  .  .  .  .
             ¸ sekilde gösterildi˘ gi gibi, sayılar 1’den ba¸slayarak ve  . 20  7  8  9  10  .
             saat yönünde yazılarak olu¸sturulmu¸stur. Buna göre,  . 19  6  1  2  11  .
             bu tablodaki 381 sayısının sa˘ g alt çaprazındaki sayı  . 18  5  4  3  12  .
             kaçtır?
                                                             . 17 16 15 14 13  .
             Çözüm : Ulam spiralinin olu¸sturuldu˘ gu taboldaki küçük  .  .  .  .  .  .  .
             karelerin kenar uzunlukları 1 olsun. O halde, sayılarla
             olu¸sturulmu¸s kenar uzunlu˘ gu2olan [1 2 3 4] karesinin sol alt kö¸sesindeki sayı 4=
             2 dir. Bu kareyi sarmalayan ve kenar uzunlu˘ gu 4 olan ikinci sayı karesinin sol alt
              2
                               2
             kö¸sesindeki sayı ise 4 =16’dır. Tümevarımla, kenar uzunlu˘ gu 2 olan, ’ıncı sayı
                                             2
             karesinin, sol alt kö¸sesindeki sayı (2) olur. Buna göre, kenar uzunlu˘ gu 2 olan
             ’ıncı karenin sa˘ galt kö¸sesindeki sayı,
                                     2
                                                    2
                                 (2) − (2 − 1) = 4 − 2 +1
             olacaktır.  =10 için, 400 − 20 + 1 = 381 oldu˘ gundan, 381 sayısının, 10’uncu
             sayı karesinin sa˘ galt kö¸sesindeki sayı oldu˘ gunu anlarız. Bizden istenen ise, 381’in
             sa˘ g alt çaprazındaki sayıdır. Yani, 11’inci sayı karesinin sa˘ g alt çaprazındaki sayıyı
             bulmalıyız. Buna göre, istenen sayı : 22 − 22 + 1 = 463 elde edilir.
                                             2
   340   341   342   343   344   345   346   347   348   349   350