Page 346 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 346
2016 Sınav Sorularının Çözümleri 345
3. 25 ki¸silik bir sınıfta ba¸skanlık seçimi yapılacaktır. Ö˘ grenciler ba¸skan adayları
olan Teoman, Alper ve Berk’in her üçünün de isimlerini daha çok tercih ettik
lerini daha önce yazmak ko¸suluyla bir ka˘ gıda yazıyorlar. Seçim sonunda ka˘ gıt
larda, Teoman’ın Alper’den 19 kez daha önce, Berk’in Teoman’dan 12 kez daha
önce ve Alper’in Berk’ten 11 kez daha önce yazıldı˘ gı görülüyor. Her sıralamanın
en az iki kez yazıldı˘ gı bilindi˘ gine göre Berk kaç kez birinci sırada yazılmı¸stır?
Çözüm : Mümkün olabilecek sıralamalar
TAB, TBA, ATB, ABT, BTA, BAT
¸ seklindedir. Bunların herbirinin sayısı sırasıyla, ve olsun. Bizden +
de˘ geri isteniyor. Verilenlere göre,
+ + =19 (1)
+ + =12 (2)
+ + =11 (3)
olacaktır. Di˘ ger yandan toplam 25 ö˘ grenci oldu˘ guna göre,
+ + + + + =25 (4)
olmalıdır. Buna göre, (1) (2) ve (3) denklemleri, sırasıyla (4)’üncü denklemden
taraf tarafa çıkarılırsa,
+ + =6 (5)
+ + =13 (6)
+ + =14 (7)
elde edilir. (5)’den = = =2 bulunur. Buna göre, (2)’den =8 ve + =10
elde edilir.
4. x> 0 reel sayısı,
2
(x +1)(3x +2)(6x +5) =6
µ ¶ 2
5
denklemini sa˘ gladı˘ gına göre, 3x+ ifadesinin de˘ geri kaçtır?
2
5
Çözüm : 3 + = diyelim. Buradan,
2
1 1
6 +5 = 2, 3 +3 = + ve 3 +2 = −
2 2
oldu˘ gundan,
2
( +1) (3 +2) (6 +5) =6
µ ¶µ ¶
1 1 1 2
+ − (2) =6
3 2 2
4 1 9
2
2
4
yazılabilir. Buradan, − =6 denkleminden = =2 25 bulunur.
3 3 4
