Page 347 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

346 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

5. Tam olarak iki rakamı e¸sit olan ve birbirinden farklı rakamlarının çarpımı
84 olan be¸s basamaklı kaç sayı vardır? (Örne˘ gin, 79224 sayısının, birbirinden
farklı rakamlarının çarpımı 7 · 9 · 2 · 4=504’tür.)
2
Çözüm : 84 = 2 · 3 · 7 oldu˘ gunu kullanaca˘ gız. Buna göre, istenen be¸s basamaklı
sayının rakamları,
3 4 7 1 veya 2 6 7 1
rakamlarından olu¸smalıdır. Önce, 3 4 7 1 ile olu¸sturulabilecek ve tam olarak iki
˙
rakamı e¸sit olan sayıları bulalım. Istenilen ko¸sula uygun sayıların rakamları,
{3 4 7 1 1} ; {3 4 7 1 3} ; {3 4 7 1 4} ; {3 4 7 1 7}
formlarında olabilir. Bunlardan herhangi biriyle,
5!
=60
2!
farklı sayı olu¸sturulabilir. O halde, rakamları 4 3 7 1’den olu¸san, toplam 4·60 = 240
sayı bulunur. Benzer ¸sekilde, 2 6 7 1 sayılarıyla da, 240 sayı olu¸sturulabilir. Sonuç
olarak, istenen ¸sekilde 480 sayı vardır.

6. Herbirinden 6’¸sar tane olan 4 farklı kitabımız vardır. Bu 24 kitabı, Gökhan
ve Nihan’a, herbirine 12’¸ser kitap vermek ko¸suluyla, kaç farklı ¸sekilde da˘ gıta­
biliriz?
Çözüm : Gökhan’ın aldı˘ gı kitapların sayıları, kitap türüne göre,     olsun. Her­
biri 12’¸ser kitap alması gerekti˘ ginden,
 +  +  +  =12  ≤ 6
denkleminin çözüm sayısını bulmalıyız. Her bir türdeki kitap sayısında kısıtlama
olmasaydı, bu denklemin çözüm sayısı
µ ¶
12 + 4 − 1
= 455
4 − 1
olurdu. Fakat, her bir kitaptan en fazla 6’¸sar tane var.  6 durumlarını hesaplayalım.
Bunun için,  =  +7 ≥ 0 yazabiliriz.
0
0
0
 +  +  +  =5
denkleminin ise,
µ ¶
5+4 − 1
=56
4 − 1
çözümü vardır. Bu durum, herbir kitap türü için do˘ gru olaca˘ gından, 455’den,
4 · 56 = 224 de˘ gerini çıkaraca˘ gız. Yanıt : 455 − 224 = 231