Page 348 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2016 Sınav Sorularının Çözümleri 347

20
3
7. x pozitif bir reel sayı olmak üzere, x +4x+ ifadesinin minimum de˘ geri
x
kaçtır?
Çözüm : Aritmetik­Geometrik ortalamalar e¸sitsizli˘ ginden,
20 3 4 4 4 4 4
3
 +4 + =  +2 +2 + + + + +
     
r
4 4 4 4 4
≥ 8 8  · 2 · 2 · · · · ·
3
    
√
8
=8 2 12
√
=16 2
4 √
3
E¸sitlik,  =2 = yani,  = 2 için sa˘ glanır.

B

F C
E

A D
N M

8. Yukarıdaki ¸sekilde |AB| =12 |AN| = |NM| = |MD|  |AE| = |EC|
ve m(ABM)= m(MBD) oldu˘ guna göre, |BC| uzunlu˘ gu kaçtır?
b
b
Çözüm : Açıortay teore­ B
minden,

|| 2
= ⇒ || =6
|| 1
bulunur. || = || F C
ve || = || E
oldu˘ gundan,  parçası
 üçgeninin orta ta­ A D
banıdır. N M
Buradan,  k  ve dolayısıyla  k  elde edilir. O halde, 
üçgeninde, || = || ve  k  oldu˘ gundan, || = || bulunur.
6
Buradan da, || = =3 olur. (Menelaus Teoremi kullanılarak da çözülebilir).
2