Page 349 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

348 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

¡ √ ¢¡ √ ¢ ¡ √ ¢ ¡ √ ¢
x− 2 x− 3 (x − 1) x− 3 (x − 1) x− 2
9. f(x)= ¡ √ ¢¡ √ ¢ +2·¡√ ¢ √ √ +3·¡√ ¢ √ √
1− 2 1− 3 2−1 ( 2 − 3) 3−1 ( 3 − 2)
oldu˘ guna göre, f (5) +f (6) de˘ geri kaçtır?
Çözüm :  ()’in derecesi 2’yi a¸smayan bir polinom oldu˘ gu açıktır. Di˘ ger yandan,
³ ´ ³ ´
√ √
 (1) = 1;  2 =2 ve  3 =3
oldu˘ gundan, her  için  ()=  oldu˘ gu görülür.
2
Buradan,  (5) +  (6) = 25 + 36 = 61 elde edilir.

µ 3 ¶ 3
x +1
10. 2x = +1 denkleminin reel çözümlerinin sayısı kaçtır?
2
3
3
 +1  +1
Çözüm :  = denilirse,  = olur. Buradan,  =  elde edilir. Buna
2 2
göre,
3
 +1 3
 = ⇒  − 2 +1 = 0
2
e¸sitli˘ ginden,  =1 oldu˘ gu kolayca görülür. O halde,
¡
2
3
 − 2 +1 = ( − 1)  +  − 1 ¢
2
oldu˘ gundan,  +  − 1=0 denkleminden de iki reel kök bulunur. Yanıt 3.
11. Hangi en büyük m do˘ gal sayısı için
⎧ 1
1 <x < 3
⎪
⎪
⎪ 2
⎪ 2 <x < 4
⎪
⎨ 3
3 <x < 5
.
⎪ .
⎪
⎪ .
⎪
⎪
⎩ 
m< x <m +2
e¸sitsizlik sisteminin reel sayılarda çözümü vardır?
Çözüm : Verilen e¸sitsizlik sistemini,
⎧
1  3
⎪
⎪ √ √
⎪
⎪ 2  4
⎪
⎨ √ √
3 3
3  5
.
⎪
⎪ .
⎪ .
⎪
⎪
⎩ √ √
 
  +2
¸ seklinde yazalım. Bu e¸sitsizlik sisteminde, herhangi bir e¸sitsizli˘ gin sa˘ g tarafı, her­
hangi bir e¸sitsizli˘ gin sol tarafından küçük e¸sit kaldı˘ gı an e¸sitsizlik sisteminin çözüm
kümesi bo¸s küme olur.