Page 350 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2016 Sınav Sorularının Çözümleri 349

√ √ √
 =6 için,  6 6+2 = 2 oldu˘ gundan ve sistemin ikinci satırında  2
oldu˘ gundan,  ≥ 6 için e¸sitsizlik sisteminin sa˘ glanmayaca˘ gı açıktır.  =5 için,
√ √
5 5
5  7
√ √ √ √ √ √ √
ifadesinde, 5 7 de˘ gerinin, 1 2 3 3 4 4= 2 5 5 6 6 sayılarından büyük oldu˘ gunu
gösterirsek,  =5 için e¸sitsizlik sisteminin çözüm kümesinin bo¸solmadı˘ gı göste­
√
√
√ √
7 sayısının 1,
rilmi¸solur. √ √ 5 5 6 6 sayılarından büyük oldu˘ gu açıktır. O halde, 5 7
5
de˘ gerinin, 2 3 3 sayılarından büyük oldu˘ gunu göstermek yeterlidir.
√ √ √ √
10 2 10 2 =32 ve 15 3 15 5
5
7 =49  7 = 343  3 = 243
oldu˘ gu kolayca görülebilir. O halde,  en büyük 5 olabilir.
12. a + b = c e¸sitli˘ gini sa˘ glayan ve (c − a)(b − a − 2) −37a +1 ifadesini
tamkare yapan kaç tane (a, b, c) asal sayı üçlüsü vardır?
Çözüm :    asal sayı ise,  +  =  e¸sitli˘ gine göre,  veya ’den biri 2 olmalıdır.
Verilen ifadenin tamkare, yani pozitif olma ko¸suluna göre,   olaca˘ gından,  =2
olur. Buna göre,
2
 ( − 2 − 2) − 37 · 2+1 =  − 4 − 73 =  2
e¸sitli˘ ginden,
¡ 2 ¢ 2
 − 4 +4 −  =77 ⇒ ( − 2 − )( − 2+ )= 11 · 7
elde edilir. Buna göre,
½
 − 2+  =11
⇒  =11 =2 ⇒  =13
 − 2 −  =7
½
 − 2+  =77
⇒  =41 =38 ⇒  =43
 − 2 −  =1
elde edilir.
13. KABC üçgeninin içinde bir nokta olmak üzere, |AB| = |BC| = |AK| ve
m(ABC) =86 dir. m(KAC) =13 ise m(KCB) kaç derecedir?
◦
◦
b
b
b
B
Çözüm :  ikizkenar üçgen oldu˘ gun­
dan, ==47 olur.  üçgenin­
◦
b b
deki açılarda hesaplanırsa  =13 ◦
b
olarak bulunur.  kenarı üzerinde
||=| | olacak ¸sekilde  noktası
0
0
seçilirse  üçgeni ile  üç­ K
0
geninin e¸s oldukları görülür. Buna göre
||=| | olur.  =  denirse A C
0
b
K'
0
  =  +10 ve  =47 − 
c 0
b
olur.  +13 = 47 −  denirse  =17 bulunur. Buna göre  =17 bulunur.
◦
◦
b