Page 351 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 351
350 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
14. Her x 6=2 için
µ ¶
2x +1
f(x) +4x = (x − 2) ·f
x − 2
fonksiyonel denklemini sa˘ glayan f fonksiyonu için, f(17, 71)’in tamde˘ geri kaçtır?
2 +1 2 +1
Çözüm : = diyelim. Bu durumda, = olacaktır. Bu ifade
− 2 − 2
denklemde yazılırsa,
µ ¶ µ ¶
2 +1 2 +1 2 +1
+4 · = − 2 ()
− 2 − 2 − 2
olur. Tekrar = yazılırsa,
µ ¶ µ ¶
2 +1 2 +1 2 +1
+4 · = − 2 ()
− 2 − 2 − 2
µ ¶
2 +1
oldu˘ gundan, ()= ve = denilirse,
− 2
½
− ( − 2) = −4
5 − ( − 2) =8 +4
denklem sistemi elde edilir. Buradan,
4 =12 +4 ⇒ =3 +1
olur. ()= 3 +1’den (17 71) = 54 13 oldu˘ gu görülür. Yanıt : 54.
∞
X
2a +1 a 3
15. a +2 = a 0 =2 ve a 1 =1 ise, toplamının de˘ geri kaçtır?
3a 3
=0
1
2 · 1 1 2 · 3 2
Çözüm : 2 = = 3 = = dur. Di˘ ger yandan
3 · 2 3 3 · 1 9
4 +1
2 +2 3 4
+3 = = =
3 +1 3 +1 9
4
e¸sitli˘ ginden, +3 = bulunur. Buradan,
9
4
+6 +3 =
9
olaca˘ gından, +6 = elde edilir. Yani,
2= 0 = 6 = 12 = 18 = ··· = 6
ve
2
= 3 = 9 = 15 = ··· = 6+3
9
