Page 352 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2016 Sınav Sorularının Çözümleri 351

biçimindedir. Buna göre,
∞ ∞ ∞
X X X
 3  6  6+3
= +
3  3 2 3 2+1
=0 =0 =0
∞ ∞
X 1  3 X 1
=  0 2 + 2
3 3 3
=0 =0
´ ∞
³ X 1
 3
=  0 +
3 3 2
=0
µ ¶µ ¶
29 1
= 2+
3 1 − 19
7
e¸sitli˘ ginden elde edilir.
3
16. 12’inci kuvveti, 23’e bölündü˘ günde 13 kalanını veren 100’den küçük kaç
pozitif tamsayı vardır?
Çözüm :  12 ≡ 13 (mod 23) denkli˘ gini sa˘ glayan  100 sayılarını arıyoruz. Fermat
teoremine göre, ( 23) = 1 için,  22 ≡ 1 (mod 23)’tür. Buna göre,
 11 ≡ ±1 (mod 23) ⇒  12 ≡ ± (mod 23)
olur. O halde, ± ≡ 13 (mod 23) olaca˘ gından,
 ≡ 13 (mod 23) veya  ≡ 10 (mod 23) olmalıdır.
Kontrol edelim.
i)  ≡ 13 (mod 23) ise,
13 11 ≡ (13 + 23) 11 =36 11 ≡ 6 22 ≡ 1 (mod 23)
oldu˘ gundan,

 =23 +13
formunda ise,  12 ≡ 13 (mod 23) olacaktır.
ii)  ≡ 10 (mod 23) ise, 13 11 ≡ 1 (mod 23) oldu˘ gu kullanılırsa,
10 11 ≡ (−13) 11 ≡−13 11 ≡−1 (mod 23)
elde edilir. Dolayısıyla,
 =23 +10
formunda ise, 10 12 ≡−10 ≡ 13 (mod 23) elde edilir.
Sonuç olarak,  =23 +10 veya  =23 +13 formunda olmalıdır. Buna göre,
10 13 33 36 56 59 79 82
sayıları problemin ko¸sulunu sa˘ glar.