Page 353 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 353
352 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
17. Burcu, Emel, Tolga ve Alp, a¸sa˘ gıda verilen, kendilerinin tanımladı˘ gı özellik
˙
lere sahip üçgenlere, "BETA ÜÇGENI" adını veriyorlar.
Burcu : Üçgenin alanı tamsayı olsun.
Emel: Üçgeninenküçük ikikenarıardı¸sık tamsayı olsun.
Tolga : Üçgenin en büyük kenarı, çevre uzunlu˘ gunun yarısından 1 br küçük
olsun.
Alp : Üçgenin çevresinin uzunlu˘ gu 500’den küçük olsun.
Tolga bu ko¸sullara uygun en küçük üçgenin (3 4 5) üçgeni oldu˘ gunu hemen
˙ ˙
söylüyor. Buna göre, bir BETA ÜÇGENININ çevresinin, 100’den büyük olma
olasılı˘ gı nedir?
Çözüm : Emel’in ko¸suluna göre, üçgenin kenarlarını, olmak üzere, +1
ve kabul edebiliriz. Tolga’nın ko¸suluna göre,
2( +1) = +( +1) + ⇒ =2 − 1
olacaktır. Alp’in ko¸sulundan, +( +1) + (2 − 1) = 4 500,yani, 125
elde edilir. Geriye sadece Burcu’nun ko¸sulu kaldı. Heron formülüne göre, =2
oldu˘ gundan,
p p
2
= 2 · · ( − 1) · 1= (2 − 2)
elde edilir. Alan’ın tam sayı olması için, 2 − 2 tamkare olmalıdır. Buradan,
2
2
2 − 2= ∈ Z ⇒ = +1
2
olur. 125 ko¸suluna uygun ¸sekilde,
=0 2 4 6 14
de˘ gerleri olabilir. =0 için, kenarlar 1 2 1 olur ki, bu üçgen belirtmez. Buradan,
=2 ⇒ 3 4 5 =10 ⇒ 51 52 101
=4 ⇒ 9 10 17 =12 ⇒ 73 74 145
=6 ⇒ 19 20 37 =14 ⇒ 99 100 197
=8 ⇒ 33 34 65
˙
elde edilir. =8’den sonraki de˘ gerlerde çevre 100’den büyük olacaktır. Istenen
olasılık : 47 olur.
18. Pozitif bölenleri d 1 ,d , ..., d 12 olan ve 1= d 1 <d 2 <d 3 < ··· <d 12 = d;
2
d 6 =12 ve d 8 +d 2 =48 ko¸sullarını sa˘ glayan d pozitif tamsayısının rakamları
toplamı kaçtır?
Çözüm : 6 =12 ve 12 sayısının 6 pozitif böleni oldu˘ gundan, 1 =1 2 =2
3 =3 4 =4 5 =6 olacaktır. Ayrıca, sayısının 2 asal çarpanının kuvveti en
fazla 2 olabilir. 3 olsaydı, ilk 6 bölen arasında 8 sayısı da olması gerekirdi. Aynı
¸ sekilde, sayısının 3 asal çarpanının kuvveti en fazla 1 olabilir. 2 olsaydı, ilk 6 bölen
