Page 354 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2016 Sınav Sorularının Çözümleri 353

arasında 9 sayısı da olması gerekirdi. Sonuç olarak,  asal sayı ve  12 olmak üzere,
 =2 · 3 ·  formunda olması gerekti˘ gi görülür. Çünkü, bu durumda tüm pozitif
2
bölenlerin sayısı (2 +1) (1+1) (1 +1) = 12 olur. Di˘ ger yandan,  8 +  2 =48
e¸sitli˘ ginden,  8 =46 elde edilir ki,  8  sayısı 23’ün katı oldu˘ gundan,  sayısının 23
2
olması gerekti˘ gi görülür. Böylece,  =2 · 3 · 23 = 276 bulunur. Yanıt : 15’tir.

2
3
4
p √ x −10x +24x −10x +47
19. x = 27 − 10 2 olmak üzere, S = ifadesi­
2
x −10x +26
nin de˘ geri kaçtır?
p √ p √ √
Çözüm :  = 27 − 10 2= 27 − 2 50 = 5 − 2 oldu˘ gu kolayca görülür.
√
2
2
Buna göre, (5 − )= 2 oldu˘ gundan, 25 − 10 +  =2 veya  − 10 = −23
elde edilir. Böylece,  ifadesinin paydasının 3 oldu˘ gu kolayca görülür. Geriye, payın
de˘ gerini hesaplama kalır.  ifadesinin payını
¡ ¢ ¡ ¢
3
2
4
2
2
 − 10 +24 − 10 +47 =  2  − 10 +23 +  − 10 +47
¸ seklinde yazabiliriz. Buradan,  −10 = −23 oldu˘ gu kullanılırsa,  kesrinin payının
2
24 oldu˘ gu görülür. O halde,  =243= 8 olur.
20. ABC üçgeninde |AB| =4, |AC| =5 ve |BC| =6’dır. E, D ∈ [AC]
m(ABE)= m(EBD)= m(DBC)
b
b
b
ise m(BDA) kaç derecedir?
b
Çözüm: [] açıortayını A
çizelim. || =4 || =5 α α
denirse, 4+5 =6 e¸sitli˘ gin­ E 5
2 4
den,  = bulunur. Buradan,
3 D
8 10 β
|| = ve || = β
3 3 β
B C
bulunur. Açıortay uzunluk 4k F 5k
ba˘ gıntısına göre 6
2 8 10 100
|| =4·5− · =
3 3 9
10
e¸sitli˘ ginden, || = = || olur ki, bu  üçgeninin ikizkenar oldu˘ gunu
3
gösterir. ()= 2 denilirse, ()=  olur. O halde,
()= ()= ()= 
denilirse, 3 +3 = 180 oldu˘ gundan  +  =60 bulunur. Dolayısıyla,
◦
◦
\ ◦
 =60 olur. (Not : Bu soru Menelaus teoremi kullanılarak da kolayca çözülebilir.)