Page 355 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

354 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları


19 +91 
21. a  =  (k =1, 2, 3, ...) dizisinin en büyük terimi, kaçıncı ter­
k!
imdir?
Çözüm :  0 verildi˘ ginde, yeteri kadar büyük  tamsayıları için, !  olur.

Dolaıyısıyla, bir terimden itibaren, dizi azalan olacaktır.
 +1  
olacak ¸sekilde en küçük  de˘ gerini bulmak istiyoruz.

19 +1 +91 +1 19 +91 
 +1   ⇔ 
( +1)! !
¡

⇔ 19 +1 +91 +1  ( +1) 19 +91  ¢


⇔ 19 (18 − )+91 (90 − )  0
µ ¶ 
91
⇔ (18 − )+ (90 − )  0
19
e¸sitsizli˘ gi elde edilir.  ≥ 90 durumunda e¸sitsizli˘ gin sa˘ glandı˘ gı,  90 için ise
sa˘ glanmadı˘ gı görülebilir. O halde, yanıt 90 olarak bulunur.
22. Bir ABC e¸skenar üçgeninde, BC kenarı üzerinde |BD| < |BE| olacak
¸ sekilde D ve E noktası seçiliyor. |BD| =16 , |EC| =5 ve m(DAE) =30 ◦
b
ise |AC| uzunlu˘ gu kaçtır?
A
Çözüm :  üçgeninin ’ye göre
simetri˘ gini ve  üçgeninin ’ye göre
simetri˘ gini alırsak  0 ile  0 do˘ gruları
çakı¸sır ve | | =| | olur. Buradan,
0
0
|| = | | =16
0
ve || = | | =5 ve   = 120 ◦
0
c 0
olur.   üçgeninde kosinüs teroremi kul­
0
lanılırsa || =19 bulunur. Buna göre 16 5
|| = || =40 bulunur. B E C
D
B' C'
23. x, y, z reel sayılar ve x< 2y< z < 12
olmak üzere,
⎧
1 1
⎪
⎨ + ≤ 1
2y − x z − 2y
1 x
⎪
⎩ +1 ≤
12 − z 4
e¸sitsizlik sistemi sa˘ glansın. Buna göre, x + y + z toplamının alabilece˘ gi en
büyük de˘ ger kaçtır?