Page 356 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2016 Sınav Sorularının Çözümleri 355

˙
Çözüm : Ikinci e¸sitsizlikte birinci e¸sitsizlik kullanılırsa
 1 1 1
≥ + +
4 12 −  2 −   − 2
elde edilir. Burada e¸sitsizli˘ gin sa˘ g tarafında Aritmetik­Harmonik orta e¸sitsizli˘ gi kul­
lanılırsa
 1 1 1 9 9
≥ + + ≥ =
4 12 −  2 −   − 2 12 −  +2 −  +  − 2 12 − 
elde edilir.
 9
≥
4 12 − 
 3 9 3
e¸sitsizli˘ ginden ( − 6) ≤ 0 yani  =6 bulunur.  =6 için = ve =
2
4 2 12 −  2
olaca˘ gından Aritmetik­Harmonik orta e¸sitsizli˘ ginde e¸sitlik durumu söz konusudur. Bu
ise ancak
1 1 1
= =
12 −  2 −   − 2
durumunda mümkündür. Burada  =6 konursa  =4 ve  =10 bulunur. Buna göre
istenen toplam 20 olarak bulunur.

24. P (x)  ikinci dereceden bir polinom olsun. Her x ∈ R için,
¡ ¡ 2 ¢¢ ¡ 2 ¢
P 2x 4x +1 ≥ P 4x +1
e¸sitsizli˘ gi sa˘ glanıyorsa, P (x) polinomunun kökleri toplamı kaçtır?
−
Çözüm : ()=  ++ olsun. Vieta formülüne göre, de˘ gerini bulmalıyız.
2

Her  ∈ R için,
¡ ¡ 2 ¢¢ ¡ 2 ¢
 2 4 +1 −  4 +1 ≥ 0
e¸sitsizli˘ gine göre,
¡
¡
¡
¢
¢
2
2
2
2
·4 2 ¡ 4 +1 ¢ 2 + ·2· 4 +1 − · 4 +1 ¢ 2 − · 4 +1 ≥ 0
olacaktır. Bu e¸sitsizlikte, gerekli sadele¸stirmeler yapılırsa, sırasıyla,
¡
¢
¢
2
2
 · 4 2 ¡ 4 +1 +  · 2 −  · 4 +1 −  ≥ 0
¡ 2 ¢ ¡ 2 ¢
 · 4 +1 · 4 − 1 +  · (2 − 1) ≥ 0
£ ¡ 2 ¢ ¤
(2 − 1)  · 4 +1 · (2 +1)+  ≥ 0
¡
¢
elde edilir. Buradan,  ()=  · 4 +1 · (2 +1) +  denilirse, e¸sitsizli˘ gin her
2
 ∈ R için sa˘ glanması için,  ()=(2 − 1) ·  () e¸sitli˘ gi sa˘ glanacak ¸sekilde bir
 () ≥ 0 polinomunun var olması gerekir.  (12) = 0 oldu˘ gundan,