Page 357 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

356 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

µ ¶µ ¶
1 1
 4 · +1 2 · +1 +  =0
4 2
olmalıdır ki, bu e¸sitlikten 4 +  =0 ve − =4 bulunur.

25. ABC üçgeninde B’den çizilen yüksekli˘ gin aya˘ gı D ve |AB| =2 olsun.
ABC üçgeninin a˘ gırlık merkezi ile, DBC üçgeninin iç te˘ get çemberinin merkezi
aynı nokta oldu˘ guna göre, |AC| kaç birimdir?

Çözüm : , hem açıor­ A
tay hem de kenarortay oldu˘ gun­ a-x
dan,  ikizkenar üçgendir 1 D
ve || = ||’dir.  aynı x
zamanda yüksekliktir. F E
|| =2 ve || =  olsun.
Açıortay Teoremi’nden, a
1 G
|| ||  1
= = =
|| || 2 2 2a
B C
oldu˘ gundan, || =2’dir.
Ayrıca, 4 ∼ 4 oldu˘ gundan,
2 || ||  − 
= = =
2 || || 1
1
olur ki, buradan =  −  yani,

2
2
1=  −  =  −  ||
2
olur. Buradan da
2
2 − 2
|| =

√
2
bulunur. Pisagor Teoremi’nden, || = 4 − 1 oldu˘ gu açıktır.
Di˘ ger taraftan, üçgenin alan formülünden
|||| 2 || |||| p
2
 ()= = = = || = 4 − 1
2 2 2
2
2 − 2 √
2
2
yazılır. || = oldu˘ gu son e¸sitlikte yerine konulursa, 4 − 1=2 − 2

2
2
elde edilir. Her iki tarafın karesi alınıp, 2 −2=  denilirse, denklem  −2−3=0
p
2
ifadesine dönü¸sür. Buradan  =3 bulunur. 2 − 2=3 denkleminden  = 52
√
olur ve buradan da 2 = 10 bulunur.