Page 358 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2017 Sınav Sorularının Çözümleri

1. En az iki basamaklı olup, bütün rakamları aynı olan ve tam dört tane pozitif
böleni olan sayılara kolay sayı diyelim. Örnegin, 11111 = 41 · 271 bir kolay
5
sayıdır. Buna göre, 10 den küçük olan kaç kolay sayı vardır?
˙
Çözüm : Iki basamaklı olup, bütün rakamları aynı ve dört pozitif böleni olan sayılar
dört tanedir : 22 33 55 77 Di˘ ger taraftan,
111 = 3 · 37; 1111 = 11 · 101; 11111 = 41 · 271
oldu˘ gundan, istenen ¸sekilde üç, dört ve be¸s basamaklı sadece birer sayı vardır.
O halde, toplam 7 sayı vardır.

2. 2017 tavuk 25 kümese, her kümeste farklı sayıda tavuk olmak ko¸suluyla yer­
le¸stiriliyor. Tavuk sayısının en fazla oldu˘ gu kümeste en az kaç tavuk vardır?
Çözüm : Tavuk sayısının en az oldugu kümesteki tavuk sayısı  olsun. O halde,
problemdeki istenen sayı en az ( + 24) olacaktır. Buna göre,
 +( +1)+( +2)+ ··· +( + 24) = 25 +25 · 12 = 25( + 12)
olur. 2017  2000 = 25 · 80 oldugu gözönüne alınırsa,  +12  80 olmalıdır.
Buradan,  68 ve  +24  92 elde edilir. Yani,  +24 ≥ 93 olur. Böylece,
tavuk sayısının en fazla oldu˘ gu kümeste en az 93 tavuk bulunmalıdır. Bu durum için
bir örnek,
(93 + 92 + ··· + 71 + 70) + 61 = 2017
¸ seklinde verilebilir.

1
3. kesiri, pozitif iki kesrin toplamı olarak birçok ¸sekilde yazılabilir. Örne˘ gin,
6
1 1 1 1 1 1
+ ; + ; + gibi.
12 12 10 15 8 24
1
Buna göre, kesri, pozitif iki kesrin toplamı olarak kaç farklı ¸sekilde yazıla­
100
bilir? (Not : 1 +1 ve 1 +1 aynı yazılı¸sı ifade eder.)
Çözüm : Eger,  ve  pozitif tamsayılar ise,
1 1 1  + 
= + = ⇔  − 100 − 100 =0
100   
2
4 4
⇔ ( − 100) ( − 100) = 100 =2 5
olur. 100 sayısının, 100 haricindeki her pozitif böleni için, bir çift ( ) ikilisi
2
1
2
vardır. Buna göre, 100 =2 5 sayısının 5 · 5=25 pozitif böleni oldugundan,
4 4
100
25 − 1
sayısı, istenen ¸sekilde +1 = 13 farklı biçimde yazılabilir.
2