Page 359 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

358 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

4. Masa üzerine, kırmızı, beyaz ve mavi renkli ka˘ gıt parçaları serpi¸stirilmi¸stir.
Kırmızı parçalar üzerinde 7, beyazlar üzerinde 15 ve maviler üzerinde 28 sayıları
yazılmı¸stır. Üzerlerindeki sayıların toplamı 210 olacak ¸sekilde birkaç ka˘ gıt alı­
nacaktır. Her renkten en az bir ka˘ gıt alınması ko¸suluyla en az kaç ka˘ gıt alın­
malıdır.
Çözüm :  tane kırmızı,  tane beyaz ve  tane mavi ka˘ gıt alınsın. 7+15+28 =
210 olması ko¸suluyla,  +  +  toplamının en küçük olması isteniyor.

7 +15 +28 = 210
denkleminde, 7; 28 ve 210 sayıları 7’ye bölündügünden,  sayısı 7 ’nin katı olmalıdır
ki, denklem göz önüne alınırsa,  =7 elde edilir. Böylece, denklem :
7 +28 = 105 veya  +4 =15
olur.  =1 ise,  =11;  =2 ise  =7 ve  =3 ise  =3 olacaktır. Buna
göre,  +  +  toplamının en küçük degeri,  =  =3 ve  =7 olmak üzere,
 +  +  =13 elde edilir.

˙
5. Antalya, Izmir ve Trabzonlulardan olu¸san toplam 50 ki¸si, hep birlikte balık
avlamaya gidiyorlar ve toplam 2500 balık avlıyorlar. Her Trabzonlu 53 balık
˙
avlıyor. Her Izmirli 45 balık avlıyor. Her Antalyalı da 48 balık avlıyor. Buna
göre, balık avlamaya giden Trabzonlu sayısı kaç farklı deger olabilir?
Çözüm : Verilen bilgilerden,
 +  +  =50 ve 53 +45 +48 = 2500
˙
denklemlerini yazabiliriz. Ikinci denklemden,
45( +  + )+ 8 +3 =2500 ⇒ 8 +3 = 2500 − 45 · 50 = 250
elde edilir. 8 +3 = 250 oldu˘ gundan,
 ≡ 2(mod 3)    32
olacaktır. Buna göre,  +  +  =50 oldugu da göz önüne alınırsa, istenen ¸sekilde 3
tane  de˘ geri bulunur. Bu de˘ gerler 23, 26 ve 29’dur.  =23 için,  =5 ve  =22;
 =26 için,  =10 ve  =14 ve son olara,  =29 için,  =15 ve  =6 bulunur.

6. 3 × 3 ölçülerindeki kareyi olu¸sturan 9 birim karenin 3’ü
siyaha boyanıyor ve siyaha boyanan karelerin ortak kenarı
olmasına izin verilmiyor. (Bir boyama örnegi ¸sekilde ver­
ilmi¸stir.) Bu boyama i¸slemi kaç farklı ¸sekilde yapılabilir?
Çözüm : Sayma i¸slemini üç ayrı durum için yapmalıyız.
1. Her satırda sadece bir karenin boyalı olma durumu :
Bu durumda, ilk satırda 3 kare, ikinci satırda 2 kare ve üçüncü satırda da 2 kare
seçilebilir.